五角錐

底面が正五角形で、頭頂点から底面に下ろした垂線が底面の中心で交わるものを正五角錐といい、その側面は二等辺三角形である。

底面の正五角形の一辺の長さを${\displaystyle l}$,側面の脚(二等辺三角形の長さが等しい二辺)の長さを${\displaystyle b}$とすると、正四角錐の高さ${\displaystyle h}$と体積${\displaystyle V}$は

${\displaystyle h={\sqrt {b^{2}-{\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}l^{2}}}}$

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{12}}l^{2}h={\frac {\sqrt {5}}{12}}l^{2}{\sqrt {(5+2{\sqrt {5}})b^{2}-{\frac {7+3{\sqrt {5}}}{2}}l^{2}}}}$

となり、表面積${\displaystyle A}$は

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}l{\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}+{\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}l^{2}}$となる。

他の正多角錐と同様に、正五角錐はpyramidal symmetry（英語版）、巡回群${\displaystyle C_{5v}}$による対称性を持つ。この四角錐は回転対称であり、底面の正五角形の中心と頂点を結ぶ直線を軸として${\displaystyle 72^{\circ },144^{\circ },216^{\circ },288^{\circ },360^{\circ }}$回転させると元の立体と完全に重なる。また面対称（英語版）でもあり底面の対称軸を通り、底面に垂直な平面を対称面に持つ^[1]。これは車輪グラフ${\displaystyle W_{5}}$として表せる。つまりこれの骨格は5つの頂点がユニバーサル頂点（英語版）という中心で結ばれている正五角形として解釈できる。^[2]正五角錐は自己双対で、つまり正五角錐の双対多面体は正五角錐自身である。^[3]。

概要 正五角錐 (ジョンソンの立体), 種別 ...

正五角錐 (ジョンソンの立体)
種別	ジョンソンの立体、角錐 J1 - J2 - J3
面数	6
面形状	正三角形: 5 正五角形: 1
辺数	10
頂点数	6
頂点形状	1(35) 5(32, 5)
対称群	C5v
双対多面体	自己双対
特性	凸集合　elementary polyhedron（英語版）
展開図の例
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正五角錐で側面がすべて正三角形のものはジョンソンの立体となる^[4]。側面の正三角形同士の二面角は${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 138.19^{\circ }}$、側面と底面の二面角は${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {5}}}}{\sqrt[{4}]{45}}}\right)\approx 37.37^{\circ }}$である^[1]。一辺の長さを${\displaystyle a}$とすると表面積${\displaystyle S}$と体積${\displaystyle V}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554a^{2},\\V&={\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}a^{3}\approx 0.30150a^{3}.\end{aligned}}}$

この正五角錐はelementary polyhedron（英語版）である。つまりこの立体は一つの平面によって二つのより小さな正多角形のみからなる多面体に分けることができない^[5]。

ジョンソンの立体としての五角錐は、直交座標系において以下のように表される頂点を適当に結ぶことで構成される。:${\displaystyle (\pm 1,0,\phi ),(0,\pm \phi ,1),(\phi ,\pm 1,0)}$ここで${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$は黄金比である。^[6]

ジョンソンの立体となる角錐は四角錐と五角錐のみである。(三角錐は正四面体、六角錐は正三角形だと重なってしまう。)

立体化学において原子団は五角錐形構造を取りうる。この分子は活性な孤立電子対を持つ典型元素を持ち、これは原子の幾何学的構造を予想する原子価殻電子対反発則から説明される^[7]。このような構造を持つ分子としてnidoケージ型の炭酸塩CB₅H₉がある^[8]。

カプシドとして知られるウイルスの殻の形状は五角あるいは六角錐に近い形のピースからモデル化される。これらの形状は天然ウイルスのタンパク質サブユニットに似せるために選択された。錐の間の引力と斥力を適切に選択することで、錐が自然界でみられる正二十面体型カプシドに自己組織化できることが判明した。^[9]

双晶化した銅粒子の内部弾性応力場における応力緩和は回位（英語版）によるものである。その双晶の形状として、対称性を保ちつつ大きく成長させることを可能にする五角錐がある。これは、電解液中での初期結晶成長過程によって活性化したカソードと、アルミニウムと酸化ケイ素の研磨粒子を移動させることによって成形される。^[10]

• 
  正五角錐柱
  （底面に正五角柱を追加）
• 
  双正五角錐柱
  （正五角柱の両底面に底面を張り合わせる）
• 
  正五角錐反柱
  （底面に正反五角柱を追加）
• 
  双五角錐
  （底面同士で貼り合わせる）
• 
  二側錐欠損二十面体
  （底面に三側錐欠損二十面体を追加）
• 
  側錐十二面体
  （底面に正十二面体を追加）
• 
  五方十二面体
  （正十二面体の各面に底面を張り合わせる）
• 
  正四角錐
  （角の数を減らす）
• 
  正二十面体
  （最大3個の正五角錐を取り出すことができる）
• 
  異相双五角台塔
  （Expansionを行う）