外延性の公理

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集合論の言語 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$ を用いて、外延性の公理は次で定義される。

${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Rightarrow x=y\right]}$

下記の論理式も、古典論理上同値である。

• ${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[x=y\lor \exists z\left[z\in x\not \Leftrightarrow z\in y\right]\right]}$
• ${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Leftrightarrow x=y\right]}$
• ${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[\left[\forall z\left[z\in x\Rightarrow z\in y\right]\land \forall w\left[w\in y\Rightarrow w\in x\right]\right]\Rightarrow x=y\right]}$

この公理の逆は、等式の置換特性に由来する。等号 ${\displaystyle =}$ は、任意の値 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$ について、次の論理式の略語として定義できる^[1]。

${\displaystyle \forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\land \forall w\left[x\in w\Leftrightarrow y\in w\right]}$

この場合、外延性の公理は次のように定式化できる。

${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Rightarrow \forall w\left[x\in w\Leftrightarrow y\in w\right]\right]}$

この式は、${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ が同じ元を持つ場合、それらは同じ集合に属することを意味する^[2]。

定義の解釈

自然言語を用いて、外延性の公理は次で解釈される：

「任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない。」

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外延性の公理から、下記の等号公理の一部が導かれる。^[3]

${\displaystyle \forall x\left[x=x\right]}$（反射律）

${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[x=y\Rightarrow y=x\right]}$（対称律）

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\left[\left[x=y\land y=z\right]\Rightarrow x=z\right]}$（推移律）

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\left[\left[x=y\land z\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]}$

ただし、${\displaystyle \left.=\right.}$ と ${\displaystyle \in }$ に関する下記の公理は別途必要である。^[4]

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\left[x=y\Rightarrow \left[x\in z\Rightarrow y\in z\right]\right]}$

空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。