和集合の公理

任意の集合について、少なくともその集合の任意の元を部分集合とする集合が存在する。下記の二つの論理式は同値である（${\displaystyle x}$ の元を ${\displaystyle z}$ にとるか、${\displaystyle y}$ の元を ${\displaystyle z}$ にとるかの違いがある）。

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[z\in x\Rightarrow \forall w\left[w\in z\Rightarrow w\in y\right]\right]}$

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[\exists w\left[z\in w\land w\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]}$

同値であることを分かりやすくするため、${\displaystyle \Rightarrow }$ を排した表記を下に示す。

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\ \forall w\left[z\not \in x\lor w\not \in z\lor w\in y\right]}$

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\ \forall w\left[z\not \in w\lor w\not \in x\lor z\in y\right]}$