平方完成

二次式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)}$ において、一次の項「${\displaystyle +\;\!\;\!bx}$」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle x-h}$ の形になる代わりに一次の項がなくなれば、${\displaystyle h}$ の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が 1 の場合とそうでない場合に分けてみる。

二次の係数（最高次係数）が 1 の場合

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

の一次の項「${\displaystyle +\;\!\;\!bx}$」をなくして ${\displaystyle x^{2}}$ を ${\displaystyle (x-h)^{2}}$ の形にする。

${\displaystyle (x-h)^{2}=x^{2}-2hx+h^{2}}$

より、一次の係数を比較すると

${\displaystyle b=-2h}$

${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}}$

これにより、x² + bx + c の平方完成は次の式になる：

${\displaystyle x^{2}+bx+c=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}$

二次の係数（最高次係数）が 1 でない場合

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)}$

の一次の項「${\displaystyle +\;\!\;\!bx}$」をなくして ${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle x-h}$ にする。

二次の係数が 1 の場合で得られた等式

${\displaystyle x^{2}+bx=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}$

を利用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right\}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}$^[1]

つまり、一次以上の項を二次の係数 a で括ることにより、二次の係数が 1 の場合を利用している。

1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)}$

である。これは二次形式

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)}$

の形で書ける。

一般の n 変数二次式は、A を対称行列として

${\displaystyle {}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)}$

で書ける。

A が対称でないときは h と k の式が

${\displaystyle h=-(A+{}^{t}A)^{-1}b,\quad k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b\,(A+{}^{t}A)^{-1}A\,(A+{}^{t}A)^{-1}b}$

とやや一般になるが同じ式で書ける。

二次方程式

${\displaystyle x^{2}+bx=a}$

を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

x² は一辺が x の正方形の面積、bx は縦横が b, x の長方形の面積に等しい。面積 bx の長方形を2等分割して、長さ x の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が b/2 の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に (b/2)² を加えると、平方 (x + b/2)² が完成する。

平方完成とは、u² + 2uv の形の式に第三項 v² を加えて完全平方式を作る操作である。u² + v² が先に与えられていても、中間項 2uv または −2uv を加えることにより完全平方式を得ることができる。

正の実数 x に対して、自身とその逆数の和は

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {1}{x}}&=\left(x-2+{\frac {1}{x}}\right)+2\\[5pt]&=\left({\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。

複二次式

${\displaystyle x^{4}+324}$

を因数分解することを考える。この式は ${\displaystyle (x^{2})^{2}+18^{2}}$ と見ることができるから、中間項 2(x²)(18) = 36x² を考え、

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$

と因数分解できる。

二次関数のグラフが x軸方向に h = 0, 5, 10, 15 平行移動する様子。

二次関数のグラフが y軸方向に k = 0, 5, 10, 15 平行移動する様子。

二次関数のグラフが x軸方向、y軸方向共に 0, 5, 10, 15 ずつ平行移動する様子。

二次関数 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)}$ の xy-座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ を平方完成して

${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k}$

これのグラフは、放物線 ${\displaystyle y=ax^{2}}$ を x軸方向に ${\displaystyle h}$、y軸方向に ${\displaystyle k}$ 平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は

${\displaystyle (h,k)}$

であることが分かる。軸の方程式は

${\displaystyle x=h}$

である。

a > 0 の場合、x = h で最小値 k をとる。

a < 0 の場合、x = h で最大値 k をとる。