数列空間

空間 ℓ² は、ヒルベルト空間であるような唯一つの ℓ^p 空間である。なぜならば、内積により導出されるノルムは中線定理 ${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}}$ を満たさなければならず、その x と y に異なる二つの単位ベクトルを代入することで p = 2 でない限りその等式は成立しないことが分かるからである。

各 ℓ^p は、p < s のとき ℓ^s の真部分集合である。さらに、ℓ^p は p ≠ s ならば ℓ^s とは線型同型ではない。実際、ピットの定理 (Pitt 1936) により、p < s ならば ℓ^s から ℓ^p へのすべての有界線型作用素はコンパクトであるが、そのような作用素は同型とはなり得ない。またさらに、それは ℓ^s の任意の無限次元部分空間上の同型ともなり得ず、厳密特異作用素（英語版）と呼ばれる。

1 < p < ∞ なら、ℓ^p の連続的双対空間は、1/p + 1/q = 1 を満たすようなヘルダー共役 q に対する空間 ℓ^q と等長同型である。この特別な同型は、ℓ^q のある元 x を、ℓ^p の元 y の汎函数

${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$

と関連付ける。ヘルダーの不等式より、L_x は ℓ^p 上の有界線型汎函数であることが分かる。また実際、

${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$

であることから、その作用素ノルムは

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}:=\sup _{\begin{smallmatrix}y\in \ell ^{p}\\y\neq 0\end{smallmatrix}}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}}$

を満たす。

y を ℓ^p の元とし、

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&(x_{n}=0)\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&(x_{n}\neq 0)\end{cases}}}$

とすれば、L_x(y) = ‖ x ‖_q ‖ y ‖_p が得られるため、実際には等号が成立し

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}}$

である。

逆に、ℓ^p 上の与えられた有界線型汎函数 L に対し、x_n = L(e_n) で定義される数列は ℓ^q に属する。したがって、写像 ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$ は等長写像

${\displaystyle \kappa _{q}\colon \ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}}$

を与える。

κ_p を、その転置の逆と合成することにより得られる写像

${\displaystyle \ell ^{q}{\xrightarrow {\kappa _{q}}}(\ell ^{p})^{*}{\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}}}$

は、その二重双対への ℓ^q の標準単射と一致する。したがって、ℓ^q は回帰的空間である。記法の濫用により、ℓ^q を ℓ^p の双対と同一視するのが通例である（つまり、(ℓ^p)^* = ℓ^q）。したがって、回帰性は、(ℓ^p)^** = (ℓ^q)^* = ℓ^p という等号のつながりによって理解される。

空間 c₀ は、ゼロへと収束するすべての数列からなる空間として定義される。これに上限ノルム ‖ x ‖_∞ を入れたものは ℓ^∞ の閉部分空間となり、したがってバナッハ空間となる。その双対空間は ℓ¹ である。ℓ¹ の双対空間は ℓ^∞ であることに注意されたい。自然数の添字集合の場合、ℓ^p と c₀ は可分である。ただし ℓ^∞ は例外となる。ℓ^∞ の双対空間はba空間である。

空間 c₀ と ℓ^p（1 ≤ p < ∞）には、標準無条件シャウダー基底（英語版） {e_i | i = 1, 2,…} が存在する。ここで e_i は第 i 成分のみ 1 でその他ではゼロであるような列である。

空間 ℓ¹ はシューアの性質（英語版）を持つ：すなわち、ℓ¹ において弱収束（英語版）する列は、必ず強収束（英語版）もする(Schur 1921)。しかし、無限次元空間上の弱位相は、強位相よりも厳密に弱いため、ℓ¹ には弱収束するが強収束しない有向点族が存在する。

ℓ^p 空間は多くのバナッハ空間に埋め込まれる。すべての無限次元バナッハ空間がある ℓ^p あるいは c₀ の同型を含むかという問題は、1974年のボリス・チレルソン（英語版）によるチレルソン空間（英語版）の構成により、否定的な解答が与えられた。その対として、すべての可分バナッハ空間は ℓ¹ の商空間と線型等長である、という問題は、Banach & Mazur (1933)により肯定的な解答が与えられた。すなわち、すべての可分バナッハ空間 X に対して、X が ${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$ と同型になるような商写像 ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$ が存在する。一般的に、ker Q は ℓ¹ 内で完備化されない。すなわち、${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$ であるような ℓ¹ の部分空間 Y は存在しない。実際、ℓ¹ はそれ自身のどれとも同型でないような非可算個の多くの非完備部分空間を持つ（例えば、${\displaystyle X=\ell ^{p}}$ を考える。そのような X は非可算に多く存在し、ℓ^p はどの他のものとも同型でないため、非可算個の多くの ker Q が存在する）。

自明な有限次元の場合を除き、ℓ^p の変わった性質は、それが多項式的回帰的空間（英語版）であることである。

• L^p-空間
• β-双対空間（英語版）

• Banach, S.; Mazur, S. (1933), “Zur Theorie der linearen Dimension”, Studia Mathematica 4: 100–112 .
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience .
• Pitt, H.R. (1936), “A note on bilinear forms”, J. London Math. Soc. 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174 .
• Schur, J. (1921), “Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 151: 79–111 .