正弦波螺旋

$${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )}$$ を微分してaを取り除くことで、r, θに関する微分方程式を作ることができる。

$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0}$$

したがって、

$${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$$

これは、極接角（英語版）が、

$${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$$

で表され、接角が、

$${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.}$$

であることを意味する（複号はrとcos nθが同符号なら正、異符号なら負をとる）。

単位接ベクトルは、

$${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)}$$

であるため、上記のベクトルと大きさを比べると次の式を得る。

$${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$$

n > 0ならば、特に一つのループの長さは次のように表現できる。

$${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }$$

曲率は次の式で与えられる。

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$$

原点を中心に持つ円による、正弦波螺旋の反転曲線（英語版）は、nを元の曲線のnの反数に置き換えたものとなる。例えば、ベルヌーイのレムニスケートは直角双曲線になる。

正弦波曲線の、Isoptic (Isoptic) 曲線、垂足曲線及び負垂足曲線は、異なる正弦波螺旋になる。

rのべき乗に比例する中心力によって動く粒子の経路の一つは正弦波螺旋である。

nを整数として、n点が半径aの円上に等間隔に配置されているとき、n点までの距離の幾何平均が一定となる点の集合は正弦波螺旋である。特に多項式レムニスケート（英語版）である。

• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p.￥213–214
• "Sinusoidal spiral" at www.2dcurves.com
• "Sinusoidal Spirals" at The MacTutor History of Mathematics
• Weisstein, Eric W. “Sinusoidal Spiral”. mathworld.wolfram.com (英語).
• 中西 真悟「貴金属比の類似比による直角三角形と等角螺旋を活用した リマソン（パスカルの蝸牛形）の作画や正弦波螺旋の幾何学的特性の再考」『日本オペレーションズ・リサーチ学会 2023年春季研究発表会』2023年3月7日。