垂足曲線

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Pを原点とする。また、曲線CをF(x, y) = 0とする。C上の点R = (x₀, y₀)の接線は次の形で書くことができる。

$${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$$

このときベクトル(cos α, sin α)はPX（接線のPを通る垂線）と平行である。また、線分PXの長さはpである。したがって、Xは極座標で(p, α) と表せる。(p, α)を(r, θ)で置き換えると極座標系における垂足曲線の方程式を得る^[10]。

例として、楕円の垂足曲線を挙げる^[10]。楕円の方程式は次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

楕円上の点R = (x₀, y₀)における接線は

$${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$$

である。αを用いた形に書き換えると次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}}$$

楕円の方程式からx₀, y₀を消去（英語版）して

$${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2}}$$

を得る。(r, θ)に置き換えると

$${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2}}$$

となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に書き換えることができる。

$${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}}$$

Pを原点とする。曲線Cを極方程式r = f(θ)で与える。R = (r, θ)をC上の点、X = (p, α)を前項と同様に定義する。接線と動径の成す角（極接角（英語版））をψとして、

$${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi }$$

より、

$${\displaystyle p=r\sin \psi ,\quad \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}}$$

である。これらの方程式において、(r, θ)と(p, α)を変換して、垂足曲線の方程式を得ることができる^[11]。

例として、円r = a cos θの垂足曲線を考える^[9]。

$${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$$

であるから

$${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta }$$ そして、 $${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}}$$

が成り立つ。したがって、

$${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}}$$

曲線の垂足座標における表示と垂足曲線は深い関係にある。原点Pを垂足点として取る。Rにおける動径と曲線の成す角ψは、垂足曲線とXにおける対応する角と等しい。垂線の長さ（Pから垂足Xまでの距離PX）をp、対応する垂足曲線のPを通る垂線の長さをqとすれば、三角形の相似より、

$${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}}$$

これより、曲線の垂足方程式をf(p, r) = 0として、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる^[12]。

$${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$$

この式から曲線の nth positive/negative pedal curve の垂足方程式を簡単に求めることができる。

v→ = P − Rとする。また、v→を接線ベクトルと法線ベクトル（英語版）に分解して次のように書く。

$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$$

v→_∥はRX方向のベクトルとなる。

tをパラメタとして曲線cの垂足曲線のパラメトリック方程式は

$${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$$

で表される（c'が0または定義できない点は無視する）。

曲線を媒介的に定義して、垂足点を(0, 0)とする垂足曲線は、

$${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$$

$${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$$

と定義できる。contrapedal curveは次の式で与えることができる。

$${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$$

同じ垂足点においては、contrapedal curveと曲線の縮閉線の垂足曲線は一致する。

点Pを通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点Xは曲線とPの垂足曲線をたどる。角が動けばPに対する角の運動方向はPXと平行になり、Rの動く方向は接線T (=RX)に平行になる。したがって瞬間中心は、PXのPを通る垂線と、RXのRを通る垂線の交点Yである。Xにおける垂足曲線の接線はXYのXを通る垂線と一致する。

PRを直径とする円は長方形PXRYに外接し、またXYを直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらもXYと直交するので、Xで接する。ゆえに、もとの曲線上の点をRとして、垂足曲線は直径をPRとする円の包絡線となる。

直線YRは曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。ゆえにYRは縮閉線の接線で、YはPを通る縮閉線の接線の垂足である。つまりYは縮閉線の垂足曲線である。よって contrapedal curve は元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。

CをPを中心に2倍縮小した図形をC'とする。 Rに対応する点R'は長方形PXRYの中心であり、R'におけるC'の接線はPY, XRと平行な直線で、長方形を二等分する。Pから発射され、R'で C'に衝突して反射する光線はYを通る。この反射された光線はCの垂足曲線と直交する直線であるXYと一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、C'の火線（英語版）となる。この事実は、曲線の火線が orthotomic の縮閉線と一致することの証明に使われる。

前述の様に、PRを直径とする円は垂足曲線に接する。この円の中心はR'である。

D'をC', D'の共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、輪転曲線（英語版）の定義の様に、C'上を滑らせずに転がす。2曲線が点R'で接するとすれば、 Pと対応する点はXとなる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線の orthotomic は輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。

Cが円であるとき、上述の議論から蝸牛形について次のような定義ができる。

• 円の垂足曲線。
• ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
• 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
• 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

有名な曲線の垂足曲線を挙げる^[13]。

曲線	方程式	垂足点	垂足曲線
円		円周上の点	カージオイド
円		任意の点	蝸牛形（リマソン）
放物線		焦点	頂点における接線
放物線		頂点	ディオクレスのシッソイド
デルトイド		中心	三葉曲線
楕円または双曲線		焦点	副円
楕円または双曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	中心	${\displaystyle {a^{2}}\cos ^{2}\theta \pm {b^{2}}\sin ^{2}\theta =r^{2}}$ （ヒッポペード（英語版））
直角双曲線		中心	ベルヌーイのレムニスケート
対数螺旋		極	対数螺旋
正弦波螺旋	${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos n\theta }$	極	${\displaystyle r^{\tfrac {n}{n+1}}=a^{\tfrac {n}{n+1}}\cos {\frac {n}{n+1}}\theta }$ (別の正弦波螺旋)