エネルギー演算子

エネルギー演算子は次のように与えられる^[1]：

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

これは波動関数（系の異なる配位空間に対する確率振幅）

${\displaystyle \Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$

に作用する。

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エネルギー演算子は系の全エネルギーに対応している。シュレーディンガー方程式は量子系のゆっくり変化する（非相対論的な）波動関数の空間・時間依存性を記述する。結合系に対するこの方程式の解は離散的（エネルギー準位で各々特徴づけられる、許容状態の集合）であり、このことが量子という概念をもたらす。

粒子のエネルギー保存に関する古典的な方程式を用いる：

${\displaystyle E=H=T+V}$

ここで E は粒子の全エネルギー、H はハミルトニアン、T は運動エネルギー、V はポテンシャルエネルギーである。エネルギー演算子とハミルトニアン演算子に置換し、

${\displaystyle {\hat {E}}={\hat {H}}}$

波動関数を掛けることで、シュレーディンガー方程式を得る：

${\displaystyle {\hat {E}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

これは次のように書き直せる：

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$

ここで i は虚数単位、ħ は換算プランク定数、ˆH はハミルトニアン演算子である。

相対論的な質量とエネルギーの関係式（英語版）を考える：

${\displaystyle E^{2}=({\boldsymbol {p}}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

ここで E は全エネルギー、p は粒子の全3次元運動量、m は不変質量、c は光速度である。この式から、シュレーディンガー方程式の場合と同様にして、クライン-ゴルドン方程式を得ることができる：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}}$

ここで ˆp は運動量演算子である。これは次のように書き直せる：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial (ct)^{2}}}=\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\Psi }$

更に、ダランベルシアン □ を用いると次のように書きなおせる。

${\displaystyle \left[\Box -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\Psi =0}$