補群

群 G に於ける部分群 H の補群とは、 G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいう^{[要検証 – ノート]}

• ${\displaystyle HK=G,}$
• ${\displaystyle H\cap K=\{e\}.}$

ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H, k ∈ K } を、また e は単位元を表す。 なお、同じことであるが、 「任意の ${\displaystyle g\in G}$ が、${\displaystyle h\in H,k\in K}$ を使って ${\displaystyle g=hk}$ と 一意的^{[訳注 1]} に表すことができる。」 と言い換えることができる。

この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である ^{[訳注 2]}。

ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群である必要はない。

• 補群は必ずしも存在するとは限らない。
• もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K₁ および K₂ があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。
• もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類の完全代表系を成す（下記補足説明も参照）。
• H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G/H と同型である^{[訳注 3]}。補群が複数存在するならば、それらはすべて G/H と同型である。
• シューア・ツァッセンハウスの定理は、有限群の正規ホール部分群の補群の存在を保証する。

三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。

この性質は以下のように簡単に証明できる。^[要出典] 最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。 二番目の条件は、もし ${\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}\neq \emptyset }$ ならば、ある ${\displaystyle g\in G}$ に対して、${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ が存在して、 ${\displaystyle g=h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}}$ と二通りに表すことができる。 これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性 ^{[訳注 1]} に矛盾する。

この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。

• 群 G を

${\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5\}}$ とし、群演算を6を法とする加法とする。H と K をそれぞれ、${\displaystyle H=\{0,2,4\},K=\{0,3\}}$ とすると、H と K は G の部分群であり、互いに他方の補群になっている ^{[注釈 1]}。

以下は、ある部分群に対して、補群が複数存在する例である。

• 群 G を、複素数全体に演算を加法とした ${\displaystyle G:=(\mathbb {C} ,+)}$ とする。実数全体 ${\displaystyle H:=\mathbb {R} }$ は G の部分群である。ここで

${\displaystyle K_{1}:=\{bi|b\in \mathbb {R} \}}$ (i は虚数単位)、つまり純虚数全体の集合とする。まず ${\displaystyle K_{1}}$ が G の部分群であることはすぐに確かめられる。${\displaystyle H\cap K_{1}=\{0\}}$ もすぐに分かるだろう。さらに、任意の複素数${\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )}$ に対して、${\displaystyle a\in H,bi\in K_{1}}$ であるから、${\displaystyle HK_{1}=G}$ も示される。従って、${\displaystyle K_{1}}$ は H の補群である。

• 上の G = C の例において、さらに、

${\displaystyle K_{2}:=\{b+bi|b\in \mathbb {R} \}}$ とする。まず、これが G の部分群であることと、${\displaystyle H\cap K_{2}=\{0\}}$ は容易に確かめられる。さらに、任意の複素数 ${\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )}$ に対して、${\displaystyle c=(a-b)+(b+bi)}$と変形すれば、${\displaystyle a-b\in H,b+bi\in K_{2}}$ だから ${\displaystyle HK_{2}=G}$ も満たす。

従って、${\displaystyle K_{2}}$ も H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。

以下では逆に補群が存在しない例を示す。

• 整数全体の加法群 ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} ,+)}$ を考える。任意の部分群を ${\displaystyle H}$ とし、その中から適当に元 ${\displaystyle a}$ を一つ取って固定する。すると、部分群の定義から ${\displaystyle a}$ の倍数 ^{[注釈 2]}　はすべて

${\displaystyle na:=\overbrace {a+a+\cdots +a} ^{ntimes}\in H}$ でなければならない。

もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ ${\displaystyle a\in H,b\in K}$ を取り出せば ${\displaystyle ab\in H,ba\in K}$ であり、明らかに ${\displaystyle ab=ba}$。従って (H か K のいずれかが ${\displaystyle \{0\}}$ でない限り) 補群の条件に必要な ${\displaystyle H\cap K=\{0\}}$ を満たすことは決してない。よって、${\displaystyle (Z,+)}$ の (非自明な) 部分群には対応する補群は存在しない。

補群は、直積 および 半直積 の一般化である。 一般の補群に対応する積を Zappa–Szép 積（英語版） と呼ぶ。 H と K が非自明な場合 ^{[注釈 3]} 補群は、群 G を小さな部分群に分解する。^{[訳語疑問点]}

上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。

p-補群（英: p-complement）は、シロー p-部分群の補群である。 Frobenius の定理や Thompson の定理によって、 群が正規 p-補群（英語版）を持つ条件が示される。 Hall（英語版） は、有限群の中で可解群 を任意の素数 p に対して、p-補群を持つものとして特徴付けた。シロー系の構成にも p-補群は利用される。

フロベニウス群に於けるフロベニウス核（英語版）の補群はフロベニウス補群（英語版）と呼ばれる。

Complemented group（英語版） とは、任意の部分群が補群を持つ群である。