閉形式

二次方程式の解の公式

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

は、一般の二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ の解の閉形式である。

より一般に、多項式方程式の文脈では、解の閉形式とは冪根による解（英語版）である。すなわち、許される関数が n 乗根と体の演算 ${\displaystyle (+,-,\times ,/)}$ だけであるような閉形式表現をいう。実際、体論を用いると、多項式方程式の解が指数関数、対数、三角関数を含む閉形式をもつならば、それらの関数を含まない閉形式ももつことが示される。^[要出典]

三次方程式（次数3）および四次方程式（次数4）のすべての解には、冪根による式が存在する。これらの式の大きさは次数が上がるにつれて著しく増大し、実用性は限定される。

より高い次数では、アーベル＝ルフィニの定理により、解を冪根で表すことができない方程式が存在すること、したがって閉形式をもたない方程式が存在することが示される。単純な例は方程式 ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$ である。ガロア理論は、特定の多項式方程式が冪根で解けるかどうかを判定するアルゴリズム的方法を与える。

記号積分（英語版）は、本質的には、閉形式表現で指定された関数の原始関数の閉形式を探すことである。この文脈で閉形式を定義するために用いられる基本関数は、通常、対数、指数関数、多項式の根である。これらの基本関数について閉形式をもつ関数は初等関数と呼ばれ、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数を含む。

したがって記号積分の基本問題は、閉形式表現によって指定された初等関数が与えられたとき、その原始関数が初等関数であるかどうかを判定し、そうであればその原始関数の閉形式表現を求めることである。

有理関数、すなわち2つの多項式の商については、原始関数は常に有理関数になるとは限らないが、対数と多項式の根を含みうる初等関数には常になる。これは通常、部分分数分解によって証明される。対数と多項式の根が必要になることは、次の公式によって示される。

$${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$$

ここで ${\displaystyle f}$ と ${\displaystyle g}$ は互いに素な多項式であり、${\displaystyle g}$ は平方因子をもたない多項式（英語版）で、${\displaystyle \deg f<\deg g}$ である。

基本関数を変更して追加の関数を含めると、閉形式解をもつ方程式の集合も変わりうる。多くの累積分布関数は、誤差関数やガンマ関数のような特殊関数を基本関数と見なさない限り、閉形式では表せない。一般の超幾何関数を含めれば五次方程式を解くことも可能であるが、その解は代数的にきわめて複雑で、実用上は有用とは言いがたい。多くの実用的なコンピュータ応用では、ガンマ関数やその他の特殊関数を基本関数と見なすことは十分に合理的である。これは、それらの数値実装が広く利用可能だからである。

解析的表現という語は、閉形式の同義語として理解されることがある（“Wolfram Mathworld”. 2026年5月31日閲覧。を参照）。しかし、この用法には異論もある（“Math Stackexchange”. 2026年5月31日閲覧。を参照）。この語が、過去のこのページの出典未提示の版の結果ではなく、実際にどの程度用いられているかは明確ではない。

閉形式表現には無限級数や連分数は含まれず、積分や数列の極限も含まれない。実際、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理により、単位区間上の任意の連続関数は多項式の極限として表せる。したがって、多項式を含み、極限について閉じている関数のクラスは、必然的にすべての連続関数を含むことになる。

同様に、方程式または連立方程式が閉形式解をもつというのは、少なくとも1つの解が閉形式表現で表せるとき、かつそのときに限る。また、解析解をもつというのは、少なくとも1つの解が解析的表現で表せるとき、かつそのときに限る。「閉形式関数」と「閉形式数」のあいだには、「閉形式解」を論じる際に微妙な区別がある。この点は (Chow 1999) および下記で論じられている。閉形式解または解析解は、陰的な方程式に対して、陽解と呼ばれることもある。

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複素数体 C の3つの部分体が、「閉形式数」という概念を表すものとして提案されている。一般性の低い順から、リウヴィル数、EL数、初等数（英語版）である。リウヴィル数（有理近似の意味でのリウヴィル数とは異なる）は L と表され、指数関数と対数について閉じた C の最小の代数的閉部分体である。形式的には、そのようなすべての部分体の共通部分である。つまり、明示的な指数関数と対数を含み、さらに明示的および陰的な多項式、すなわち多項式の根を許す数である。これは (Ritt 1948, p. 60) で定義されている。L は当初初等数と呼ばれていたが、現在この語はより広く、代数的演算、指数関数、対数によって明示的または陰的に定義される数を指すために用いられる。(Chow 1999, pp. 441–442) で提案されたより狭い定義は E と表され、EL数と呼ばれる。これは指数関数と対数について閉じた C の最小の部分体である。これは代数的閉体である必要はなく、明示的な代数的、指数的、対数的演算に対応する。「EL」は「exponential logarithmic」の略であると同時に、「elementary」の略でもある。

ある数が閉形式数であるかどうかは、その数が超越数であるかどうかと関係する。形式的には、リウヴィル数と初等数は代数的数を含み、さらに一部の超越数を含むが、すべての超越数を含むわけではない。これに対し、EL数はすべての代数的数を含むわけではないが、一部の超越数を含む。閉形式数は超越数論（英語版）によって研究でき、この分野の主要な結果にはゲルフォント＝シュナイダーの定理があり、主要な未解決問題にはシャニュエルの予想（英語版）がある。

数値計算の目的では、一般に閉形式であることは必須ではない。多くの極限や積分は効率的に計算できるからである。三体問題やホジキン＝ハクスリーモデル（英語版）を表す方程式のように、閉形式解をもたない方程式もある。したがって、これらの系の将来状態は数値的に計算されなければならない。

数値に対して閉形式表現を見つけようとするソフトウェアとしては、RIES、Maple の identify、SymPy、^[3] Plouffe's Inverter、^[4] 逆記号計算機（英語版） などがある。^[5]

• 代数的解法（英語版）
• コンピュータシミュレーション
• 初等関数
• 有限項演算
• 数値解
• リウヴィル関数
• 記号回帰
• タルスキの高校代数問題（英語版）
• 項 (論理学)
• タッパーの自己言及式