階乗モーメント

自然数 ${\displaystyle r}$ に対して、実数または複素数の確率変数 ${\displaystyle X}$ に関する確率分布の ${\displaystyle r}$-次階乗モーメントは次で定義される:^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]}}$

ここで、 ${\displaystyle \operatorname {E} }$ は 期待値 (を表す作用素) であり、

${\displaystyle (x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ 個}}}\equiv {\frac {x!}{(x-r)!}}}$

は下降階乗冪である。 なお、${\displaystyle (x)_{r}}$ という記法によって表される数学的意味は文脈によって異なる場合があるので注意せよ。当然ながら、この定義は期待値が定義できる状況でのみ意味を持つ。すなわち、${\displaystyle (X)_{r}\geq 0}$ または ${\displaystyle \operatorname {E} \left[|(X)_{r}|\right]<\infty }$ である時のみ意味を持つ。

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${\displaystyle X}$ が比母数 ${\displaystyle \lambda }$ で特徴付けられるポアソン分布に従うとき、${\displaystyle X}$ の階乗モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r}}$

となる。これは一般的な表示には第2種スターリング数を必要とするポアソン分布のモーメントに比べてはるかに簡単な形となっている。

${\displaystyle X}$ が成功確率 ${\displaystyle p\in [0,1]}$および試行回数 ${\displaystyle n}$ で特徴付けられる二項分布に従うとき、${\displaystyle X}$ の階乗モーメントは^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r}}$

となる。なお、この式に出現する二項係数や下降階乗冪は ${\displaystyle r>n}$ の時 0 となるものとする。

確率変数 ${\displaystyle X}$ が 母集団全体の要素数 ${\displaystyle N}$、成功状態の要素数 ${\displaystyle K\in \{0,\ldots ,N\}}$、非復元抽出数 ${\displaystyle n\in \{0,\ldots ,N\}}$ をもつ 超幾何分布に従う場合、${\displaystyle X}$ の階乗モーメントは以下で与えられる:^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}}r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}}$

確率変数 ${\displaystyle X}$ が母数 ${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$ と試行回数 ${\displaystyle n}$ を母数にもつベータ二項分布に従うとき、${\displaystyle X}$ の階乗モーメントは以下で与えられる:

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}$