確率母関数

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${\displaystyle X}$ を、非負なる整数 ${\displaystyle \{0,1,\ldots \}}$ を値としてとる離散的確率変数とする。この時、${\displaystyle X}$ の確率母関数は次で定義される: ^[1]

$${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x}}$$ ここで、${\displaystyle p}$ は ${\displaystyle X}$ の確率質量関数であり、${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$は期待値を表す。なお、${\displaystyle X}$ という特定の確率変数に対し定義されるということを強調するために、${\displaystyle G}$ や ${\displaystyle p}$ が下添字付きの ${\displaystyle G_{X}}$ や ${\displaystyle p_{X}}$として書き表されることも多々ある。この無限級数は少なくとも ${\displaystyle |z|<1}$ を満たす任意の複素数 ${\displaystyle z}$ に対して絶対収束するが、実際の収束半径はそれよりも大きい場合も多い。

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$を ${\displaystyle d}$ 次元の確率変数とし、${\displaystyle X_{i}}$ はそれぞれ非負整数を値として取るとする。この時、${\displaystyle X}$ の確率母関数は次で定義される: $${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$$ ここで、再び ${\displaystyle p}$ は ${\displaystyle X}$ の確率質量関数であり、${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$は期待値を表す。この無限級数は少なくとも${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$であって、 ${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1}$ を満たす任意の ${\displaystyle d}$ 次元複素数ベクトル ${\displaystyle z}$ に対して絶対収束する。

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定義式から自明であるが、確率母関数は非負なる係数をもつ冪級数の性質全てに従う。特に、${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$を、${\displaystyle x}$を下側から1に近づける極限として定義した場合、${\displaystyle G(1^{-})=1}$が成立する。これは、確率分布全体の和が1とならなければならないからである。そのため、非負なる係数をもつべき級数に対するアーベルの連続性定理の帰結として、任意の確率母関数の収束半径は最低でも1となる。

以下の性質により、${\displaystyle X}$ に関する様々な基本的量を確率母関数から計算できる:

1. 確率母関数の ${\displaystyle k}$-次微分を取ることで、${\displaystyle X=k}$ となる確率が得られる: $${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}}$$
2. 確率変数${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$の確率母関数が一致する(${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$)ならば、確率質量関数も一致する(${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$)。これは1.で述べた性質より導かれる。
3. 確率質量関数が規格化されていることは、確率母関数を用いて次のように表される: $${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)=1}$$ また、${\displaystyle X}$ の期待値 は $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-})}$$ で表されることもわかる。さらに一般的には、${\displaystyle X}$ の${\displaystyle k}$-次の階乗モーメント ${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$ が$${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(X-k)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0}$$ で表される。よって、${\displaystyle X}$ の分散は $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}}$$ により計算される。一方、${\displaystyle X}$ の${\displaystyle k}$-次のモーメントは$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$$により与えられる。
4. ${\displaystyle M_{X}(t)}$ を、確率変数 ${\displaystyle X}$ の積率母関数としたとき、${\displaystyle X}$ の確率母関数と${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$により結びつく。

確率母関数は、独立な確率変数に対する関数を考察する際にとりわけ有用である。以下にその例を数点示す:

• ${\displaystyle X_{i}(i=1,2,\cdots ,N)}$ が独立な(ただし必ずしも同じ分布には属しない)確率変数列とし、それぞれ非負整数を値として取りうるとする。 ${\displaystyle a_{i}}$を整数の定数列としたとき、確率変数 ${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}}$に関する確率母関数は、以下のようにそれぞれの${\displaystyle X_{i}}$に関する確率母関数を用いて記述できる:

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=\prod _{k=1}^{N}G_{X_{k}}(z^{a_{k}})}$

• 特に ${\displaystyle X,Y}$が独立かつそれぞれ非負整数値を取る時、以下が成立する:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X+Y}(z)&=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)\\G_{X-Y}(z)&=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z)\end{aligned}}}$

• 上述した例では、確率変数列に含まれる確率変数の個数 ${\displaystyle N}$ は固定されていた。いま、 ${\displaystyle N}$ もまた非負なる整数を値にとる確率変数であるとし、さらにその分布は ${\displaystyle X_{i}}$ とも独立であるとする。${\displaystyle X_{i}}$ が独立同分布であるとすれば、${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ に関する確率母関数は$${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z))}$$で表せる。ここで、${\displaystyle G_{N}}$ を ${\displaystyle N}$ に関する確率母関数とした。これは以下のようにして示される:$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z))\end{aligned}}}$$ この性質は、ゴルトン・ワトソン過程や複合ポアソン過程（英語版）を考察する際に有用である。
• 再び ${\displaystyle N}$ が確率変数であるとする。${\displaystyle X_{i}}$ を独立だが必ずしも同一分布とはみなせない確率変数列とする(ただし、${\displaystyle N}$ との独立性は保証されているものとする)。この場合、${\displaystyle f_{n}=\Pr(N=n)}$として、${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z)}$ が成立する。独立同分布な ${\displaystyle X_{i}}$ に対しては直前の性質を再現するが、一般的な状況で ${\displaystyle S_{N}}$ を確率母関数の観点で分解する手法があることは時として有用である。