Distribution de Tsallis

Soit un système défini par un ensemble discret de probabilités ${\displaystyle {p_{i}}}$ d'états d'énergie ${\displaystyle E_{i}}$ normalisé :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}=1}$

où ${\displaystyle \Omega }$ le nombre d'états possibles du système.

L'entropie de Tsallis est définie par^[1] :

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})={\frac {k}{q-1}}\left(1-\sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}^{q}\right)=-k\sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}\log _{2-q}p_{j}}$

où ${\displaystyle q}$ est un paramètre parfois appelé indice entropique et ${\displaystyle k}$ une constante positive. Le q-logarithme ${\displaystyle \log _{q}(\cdot )}$ est défini par :

${\displaystyle \log _{q}(x)={\frac {x^{1-q}-1}{1-q}}}$

Dans le cas particulier où les états sont équiprobables :

${\displaystyle S_{q}=k\log _{q}\Omega }$

On définit la population parente^[2],[3] ${\displaystyle p_{j}^{(q)}}$ et l'énergie moyenne ${\displaystyle E_{q}}$ liée à celle-ci par :

${\displaystyle p_{j}^{(q)}={\frac {p_{j}^{q}}{\sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}^{q}}}\,,\quad E_{q}=\sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}^{(q)}E_{j}}$

La méthode des multiplicateurs de Lagrange pour le calcul de l'extremum de l'entropie est utilisée pour la recherche de la solution du problème contraint par la donnée de ${\displaystyle E_{q}}$

${\displaystyle \max \left\{S_{q}(p_{i})+\beta E_{q}\right\}}$

ce qui conduit à la solution :

${\displaystyle p_{i}={\frac {e_{q}(-\beta _{q}(E_{i}-E_{q}))}{\sum _{j=1}^{\Omega }e_{q}(-\beta _{q}(E_{j}-E_{q}))}}\,,\quad \beta _{q}={\frac {\beta }{\sum _{j=1}^{\Omega }p_{j}^{q}}}}$

où ${\displaystyle e_{q}(\cdot )}$ est la q-exponentielle et ${\displaystyle \beta }$ est le multiplicateur de Lagrange .

Il existe plusieurs familles différentes de ces distributions^,[4],[5] :

• si on impose le premier moment^[6] (comme ci-dessus) on obtient la distribution q-exponentielle, q-analogue de la distribution exponentielle, obtenue pour ${\displaystyle q=1}$.
• si on impose de plus le second moment on obtient la distribution q-gaussienne, q-analogue de la gaussienne, obtenue lorsque ${\displaystyle q=1}$.