Entropie de Tsallis

Étant donné un ensemble discret de probabilités ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ avec la condition de normalisation ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$, et ${\displaystyle q}$ un nombre réel, l'entropie de Tsallis est définie par

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})={\frac {k}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right)\,,\quad q\neq 1}$

où ${\displaystyle q}$ est un paramètre parfois appelé indice entropique et ${\displaystyle k}$ une constante positive.

Dans la limite ${\displaystyle q\to 1}$ on récupère l'entropie usuelle de Boltzmann, à savoir

${\displaystyle S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}}$

où l'on identifie ${\displaystyle k}$ à la constante de Boltzmann ${\displaystyle k_{B}}$.

Si ${\displaystyle \Omega }$ est le nombre d'états possibles du système d'équiprobabilité ${\displaystyle p_{i}=1/\Omega }$ on généralise l'expression de Boltzmann

${\displaystyle S_{q}(\Omega )={\frac {k}{1-q}}{\frac {\Omega ^{1-q}}{1-q}}=k\log _{q}\Omega }$

où ${\displaystyle \log _{q}(x)={\frac {x^{1-q}-1}{1-q}}}$ est le q-logarithme, fonction inverse de la q-exponentielle ${\displaystyle e_{q}(x)=\max\{[1+(1-q)x]^{\frac {1}{1-q}},0\}}$. On a donc ${\displaystyle \log _{q}[e_{q}(x)]=e_{q}[\log _{q}(x)]=x}$.

Pour les distributions de probabilité continues, on définit l'entropie comme

${\displaystyle S_{q}(p)={1 \over q-1}\left(1-\int p^{q}\,dx\right),}$

où ${\displaystyle p(x)}$ est une densité de probabilité.

Soit deux systèmes indépendants A et B, pour lesquels la densité de probabilité conjointe satisfait

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B)}$

L'entropie de Tsallis de ce système satisfait

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B)}$

Cette propriété est parfois appelée « pseudo-additivité ».

D'après ce résultat, il est évident que le paramètre ${\displaystyle |1-q|}$ est une mesure de l'écart par rapport à l'additivité. À la limite, lorsque q = 1

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B)}$

équation qui définit un système additif.

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On montre^[4] que ${\displaystyle S_{q}}$ est concave pour ${\displaystyle q>0}$ et convexe pour ${\displaystyle q<0}$.

On peut, comme pour l'entropie de Boltzmann rechercher un maximum (${\displaystyle q>0}$) ou un minimum (${\displaystyle q<0}$) en utilisant la distribution suivante

${\displaystyle p_{i}={\frac {e_{q}(-\beta E_{i})}{\sum _{j=1}^{\Omega }e_{q}(-\beta E_{j})}}}$

où ${\displaystyle E_{i}}$ est l'énergie du i-ième niveau microscopique et ${\displaystyle \beta }$ une valeur qui, dans la réduction ${\displaystyle q=1}$ est ${\displaystyle (k_{B}T)^{-1}}$, T étant la température. ${\displaystyle e_{q}}$ est la q-exponentielle.

Ainsi le principe d'entropie maximale permet de dériver les distributions de Tsallis comme la distribution q-exponentielle^[5].

De nombreuses distributions courantes comme la distribution normale appartiennent aux familles exponentielles statistiques. L'entropie de Tsallis pour une famille exponentielle s'écrit ^[6]

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})e_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

où F est le log-normalisateur et k le terme indiquant la mesure de la porteuse. Pour la loi normale multidimensionnelle le terme k est nul, et donc l'entropie de Tsallis est explicite.

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L'approche de Tsallis concerne :

• les problèmes stationnaires ou métastables décrits par une q-exponentielle caractérisée par la valeur ${\displaystyle q_{stat}}$ ;
• dont la sensibilité aux conditions initiales est celle de cette fonction (« chaos faible ») avec le paramètre ${\displaystyle q_{sens}}$ ;
• dont les variables macroscopiques associées présentent une relaxation vers l'état stationnaire représenté par cette fonction pour le paramètre ${\displaystyle q_{rel}}$.

L'ensemble des trois valeurs ${\displaystyle q_{stat},q_{sens},q_{rel}}$ est appelé triplet de Tsallis ou q-triplet.

Dans la littérature scientifique, la pertinence physique de l'entropie de Tsallis a été débattue^[7],[8],[9]. Cependant, à partir des années 2000, un spectre de plus en plus large de systèmes complexes naturels, artificiels et sociaux a été identifié qui confirme les prédictions de cette théorie^[10],[11].

Parmi les diverses vérifications et applications expérimentales actuellement disponibles dans la littérature, on peut noter :

1. la distribution caractérisant le mouvement des atomes froids dans les réseaux de diffraction dissipatifs prédite en 2003^[12] et observée en 2006^[13] ;
2. les fluctuations du champ magnétique dans le vent solaire ont permis le calcul du q-triplet^[14] ;
3. la distributions de vitesse dans un plasma poussiéreux dissipatif entraîné^[15] ;
4. la relaxation du verre de spin^[16] ;
5. l'ion piégé interagissant avec un gaz neutre classique^[17] ;
6. les expériences de collisions à haute énergie au LHC/CERN (détecteurs CMS, ATLAS et ALICE)^[18],[19] et au RHIC/Brookhaven (détecteurs STAR et PHENIX )^[20].

Parmi les différents résultats théoriques disponibles qui clarifient les conditions physiques dans lesquelles s'appliquent l'entropie de Tsallis et les statistiques associées, on peut sélectionner les suivants :

1. la diffusion anormale^[21],[22] ;
2. le théorème d'unicité pour l'entropie de Tsallis^[23] ;
3. la sensibilité aux conditions initiales et production d'entropie à la limite du chaos^[24],[25] ;
4. l'ensemble de probabilités qui rendent l'entropie de Tsallis non additive extensive au sens thermodynamique^[26] ;
5. les systèmes quantiques intriqués et la thermodynamique fortement liée^[27] ;
6. la thermostatistique du mouvement suramorti des particules en interaction^[28],[29] ;
7. les généralisations non linéaires des équations de Schrödinger, de Klein-Gordon et de Dirac^[30] ;
8. le calcul de l'entropie des trous noirs^[31].