Polyabolo
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Les polyabolos, aussi appelés polytans, sont des polygones constitués de plusieurs triangles isocèles rectangles (demi-carrés) superposables, assemblés de toutes les façons possibles, côte-à-côte, sans superposition et sans juxtaposition d'un côté du carré unitaire et d'une de ses diagonales. Cet objet des mathématiques récréatives est un cas particulier de polyformes où l'on accole entre elles des formes identiques, ici des demi-carrés[1].
Le terme polyabolo a été forgé par S.J.Collins de Bristol et utilisé par H.O.O'Beirne (New SCientist, 1961)[2] sur le modèle des polyominos (Salomon W.Golomb, 1952) en accolant au préfixe poly- la fin du mot diabolo, par allusion à la forme du diabolo, même si cette forme n'est pas un polyabolo car les 2 triangles isocèles qui la composent ne se joignent que par leur sommet. Les termes désignant les polyabolos selon le nombre de triangles ont été créés sur le même modèle : monoabolo (1 triangle), triabolo (3 triangles), tetrabolo (4 triangles), etc.
On peut voir aussi les polyabolos comme les formes que l'on construit en joignant les sommets d'un quadrillage selon les côtés du quadrillage ou selon ses diagonales, sans croisement entre les côtés. Les formes qui peuvent se superposer après une rotation ou une symétrie sont considérées comme équivalentes. Parfois cependant, les formes qui ne peuvent se superposer qu'avec une réflexion (symétrie axiale) sont distinguées comme chirales ou bi-faces, comme le parallélogramme.
Un polyabolo ne présentant aucun élément de symétrie peut être représenté de 8 manières congruentes sur un quadrillage (8 alias). Le nombre d'alias est réduit à 4, 2 ou 1 selon la présence des éléments de symétrie comme le montre l'illustration où on passe d'un alias à l'autre situé juste en dessous par une rotation d'un quart de tour dans le sens horaire.
Il n'y a qu'un seul monoabolo (polyabolo constitué d'un seul triangle). 3 polyabolos sont constitués de 2 triangles (diabolos) : 1 triangle et 2 quadrilatères convexes (1 carré et 1 parallélogramme).
4 polyabolos sont constitués de 3 triangles (triabolos) : 2 quadrilatères (2 trapèzes dont 1 isocèle et l'autre rectangle) et 2 pentagones non-convexes dont 1 symétrique.
Il y a 14 tetrabolos dont 6 convexes se répartissant en 1 triangle, 5 quadrilatères, 2 pentagones et 6 hexagones. Il y a 30 pentabolos dont 3 convexes se répartissant en 3 quadrilatères, 6 pentagones, 12 hexagones et 9 heptagones.
La suite des nombres de polyabolos quand le nombre T de triangles unitaires augmente est donné dans le tableau ci-dessous pour T<13. À partir de 7 triangles accolés, on voit apparaître des formes à trous que l'on doit ajouter à la liste précédente.
| T | nom | nombre sans trou | nombre avec trous | nombre total voir suite A006074 de l'OEIS |
|---|---|---|---|---|
| 1 | monoabolo | 1 | 0 | 1 |
| 2 | diabolo | 3 | 0 | 3 |
| 3 | triabolo | 4 | 0 | 4 |
| 4 | tétrabolo | 14 | 0 | 14 |
| 5 | pentabolo | 30 | 0 | 30 |
| 6 | hexabolo | 107 | 0 | 107 |
| 7 | heptabolo | 316 | 2 | 318 |
| 8 | octabolo | 1105 | 11 | 1116 |
| 9 | ennéabolo | 3667 | 76 | 3743 |
| 10 | décabolo | 12818 | 422 | 13240 |
| 11 | undécabolo | 44289 | 2187 | 46476 |
| 12 | dodécabolo | 155725 | 10633 | 166358 |
Si on s'intéresse uniquement aux polyabolos convexes, la liste est la suivante (jusqu'à 32 triangles unitaires) :
Certains polyabolos ont des éléments de symétrie : 1 axe, 1 centre d'ordre 2 ou d'ordre 4, 2 axes perpendiculaires ou même 4 axes comme le carré. Lorsqu'un polyabolo a un nombre impair de côtés, il ne peut pas présenter de centre de rotation. Même chose si c'est son nombre de triangles unitaires (son aire) qui est impair. La liste des polyabolos symétriques est la suivante :
| T | C 1 centre | A 1 ou plusieurs axe(s) | D 2 ou 4 axes (et 1 centre) | total = C + A - D polyabolos symétriques |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 4 | 5 | 6 | 2 | 9 |
| 5 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 6 | 14 | 16 | 3 | 27 |
| 7 | 0 | 11 | 0 | 11 |
| 8 | 43 | 50 | 5 | 88 |
| 9 | 0 | 34 | 0 | 34 |
| 10 | 146 | 155 | 7 | 294 |
Périmètre et nombre de côtés maximum
D'une façon générale le nombre de côtés d'un polyabolo contenant T triangles unitaires varie entre 3 et T+2. Cette propriété découle naturellement du théorème de Pick qui caractérise les polygones sur quadrillage : P+2I=T+2 où P est le nombre de points sur le Périmètre, I le nombre de points à l'Intérieur et T le nombre de Triangles unitaires. Lorsque I est nul, cette relation devient P=T+2. Pour avoir un maximum de côtés, chaque point sur le périmètre doit être un sommet du polygone. Dans ce cas, P mesure le nombre de côtés qui vaut donc T+2 au maximum.
