Théorème de Poynting

Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

L'éponyme^[1]^,^[2]^,^[3] du théorème de Poynting^[4]^,^[5]^,^[6] est le physicien anglais John Henry Poynting (1852-1914) qui l'a établi à partir de deux des équations de Maxwell^[7] — celles de Maxwell-Faraday^[5]^,^[8] et de Maxwell-Ampère ^[5]^,^[9] — et l'a publié en 1884^[1]^,^[10].

Variation de l'énergie électromagnétique

Article détaillé : Énergie électromagnétique.

Le théorème énonce que pour tout volume :

-\iiint {\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\,\mathrm {d} \tau =\iiint \mathrm {div} \,{\vec {\Pi }}\cdot {\,\mathrm {d} \tau }+\iiint {\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}{\,\mathrm {d} \tau }

soit, sous forme locale, pour un volume $d\tau$

-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=\mathrm {div} \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}

avec:

${\vec {\Pi }}$ , vecteur de Poynting
${\vec {E}}$ , champ électrique
${\vec {B}}$ , champ magnétique
${\vec {j}}$ , densité de courant
$\varepsilon _{0}$ , permittivité du vide
$\mu _{0}$ , perméabilité du vide

Démonstration à partir des équations de Maxwell

Le théorème de Poynting peut se démontrer à partir de la force de Lorentz, de l'équation de Maxwell-Ampère et de l'équation de Maxwell-Faraday^[11].

Étape n°1 : Utilisation de la force de Lorentz

La puissance échangée par une charge électrique q avec un champ électromagnétique (E, B) est donnée par :

$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

où v est la vitesse de la particule chargée, et où F est la force de Lorentz :

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \wedge \mathbf {B} \right)$

On en déduit :

$P=q\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {v}$

Ce résultat indique que seul le champ électrique peut échanger de la puissance et donc de l'énergie avec la matière. En notant J la densité volumique de courant électrique, on peut donc affirmer que la puissance échangée par la matière contenue dans un volume V de l'espace avec le champ électromagnétique est donnée par :

$P=\iiint \left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \right)\,dV$

Étape n°2 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Ampère

En considérant l'équation de Maxwell-Ampère :

$\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

on remarque que celle-ci nous permet d'exprimer la densité de courant J en tout point de l'espace en fonction des champs E et B :

$\mathbf {J} ={\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

La puissance échangée par la matière avec le champ électromagnétique est donc :

$P=\iiint \left(\left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} \right)dV$

En développant, on obtient :

$P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} }{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV$

On peut ensuite utiliser l'identité vectorielle suivante :

$\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} =\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} -\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )$

ce qui nous donne :

$P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} }{\mu _{0}}}-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV$

Étape n°3 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Faraday

Pour finir, on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :

$\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

On obtient :

$P=\iiint \left(-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} -{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV$

Par ailleurs,

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(B^{2}\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)$

ce qui conduit à :

$P=\iiint \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}\right)dV$

Finalement :

$\iiint \left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \right)dV=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\iiint \left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)dV-{\frac {1}{\mu _{0}}}\iiint \mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )\,dV$

v · m Électromagnétisme
Électrostatique	Champ électrique Charge électrique Loi de Coulomb Théorème de Gauss Potentiel électrique
Magnétostatique	Champ magnétique Courant électrique Loi de Biot et Savart Théorème d'Ampère Aimantation
Électrodynamique	Champ électromagnétique Équations de Maxwell Courant de déplacement Théorème de Helmholtz Potentiels retardés Potentiels de Liénard-Wiechert Équations de Panofsky-Phillips Équations de Jefimenko Rayonnement électromagnétique Force de Lorentz Pression de rayonnement ARQS Induction électromagnétique Inductance Force électromotrice Courants de Foucault Loi de Lenz-Faraday Force d'Abraham-Lorentz Résistance de rayonnement Théorème de Poynting
Magnétisme	Bobine Circuit magnétique Domaine de Weiss Loi de Curie Loi de Curie-Weiss Perméabilité magnétique Susceptibilité magnétique Comportements magnétiques Altermagnétisme Antiferromagnétisme Diamagnétisme Ferrimagnétisme Ferromagnétisme Hélimagnétisme Paramagnétisme Superparamagnétisme Verre de spin
Électromagnétisme et relativité	Principe de relativité Transformations de Galilée Éther Expérience de Trouton-Noble Expérience de Michelson et Morley Théorie de l'éther de Lorentz Relativité restreinte Transformations de Lorentz des champs Expériences KBN Théorie de l'émission Effet Doppler relativiste Rayonnement synchrotron Tests de la relativité restreinte
Automatique Électricité Électrochimie Électronique Électrotechnique Robotique Traitement du signal

Théorème de Poynting

Variation de l'énergie électromagnétique

Démonstration à partir des équations de Maxwell

Étape n°1 : Utilisation de la force de Lorentz

Étape n°2 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Ampère

Étape n°3 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Faraday

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes

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