Résolution d'un triangle

La résolution d'un triangle en géométrie euclidienne utilise un certain nombre de relations entre éléments du triangle. Les plus souvent utilisées sont

• le théorème d'Al-Kashi ;
• la formule de Héron ;
• la loi des sinus ;
• la loi des tangentes ;
• la somme des angles d'un triangle vaut π rad soit 180 °,

bien qu'il soit également possible d'utiliser d'autres relations pour aboutir à une solution.

Ci-dessous sont énumérés les différents cas de figure en fonction des trois éléments connus parmi les trois angles et les trois côtés. Les formules analytiques sont données pour les côtés ou les angles inconnus, ainsi que l'aire S. Elles doivent être adaptées pour une détermination numérique car, prises telles quelles, elles donnent des erreurs importantes pour les triangles « en épingle », c'est-à-dire dont un des côtés est petit par rapport aux autres et les triangles « presque rectangles », c'est-à-dire dont un des angles fait environ 90°.

On considère un triangle dont les trois côtés ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ sont connus. Les angles sont déduits à partir du théorème d'Al-Kashi et l'aire (S) à partir de la formule de Héron :

• ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$
• ${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\right)}$
• ${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$
• ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\,{\text{ avec }}\,p={\frac {a+b+c}{2}}}$

Chacun des facteurs dans l'expression de ${\displaystyle S}$ est positif, d'après l'inégalité triangulaire.

On considère un triangle dont l'angle γ est connu, ainsi que les deux côtés adjacents ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. Le dernier côté s'obtient grâce au théorème d'Al-Kashi, les deux angles manquants par la loi des tangentes et le complément à π, et l'aire par la formule du produit vectoriel :

• ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}+\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}-\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$

On considère un triangle dont un angle β est connu, ainsi qu'un côté adjacent de cet angle ${\displaystyle c}$ et le côté opposé ${\displaystyle b}$. Le deuxième angle γ s'obtient par la loi des sinus, le dernier angle α par complément à π et le dernier côté par la loi des sinus :

• ${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle \alpha =\pi -\beta -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle a={\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta }$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta \right)\sin \beta }$

Si β est aigu et que b < c, il existe une seconde solution :

• ${\displaystyle \gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle \alpha =-\beta +\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)}$
• ${\displaystyle a=c\cos \beta -{\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c\left({\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}-c\cos \beta \right)\sin \beta }$

La résolution n'est pas possible pour toutes les valeurs des paramètres. La condition suivante doit être réalisée :

${\displaystyle b>c\sin \beta \,}$.

On considère un triangle dont un côté ${\displaystyle c}$ et les deux angles α et β qui le bordent sont connus. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

• ${\displaystyle a={\frac {c\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}}$
• ${\displaystyle b={\frac {c\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$
• ${\displaystyle \gamma =\pi -\alpha -\beta \,}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}c^{2}\,{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$

On considère un triangle dont deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté non commun à ces deux angles ${\displaystyle a}$. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

• ${\displaystyle b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}}$
• ${\displaystyle c={\frac {a\sin(\alpha +\beta )}{\sin \alpha }}}$
• ${\displaystyle \gamma =\pi -\alpha -\beta \,}$
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a^{2}\,{\frac {\sin(\alpha +\beta )\sin \beta }{\sin \alpha }}}$

Il est aussi possible de résoudre un triangle en connaissant les trois angles α, β et γ (en supposant que leur somme vaut bien ${\displaystyle 180^{\circ }}$) et le périmètre ${\displaystyle P}$. En utilisant le théorème du sinus, on sait que la longueur de chaque côté est proportionnelle au sinus de l'angle opposé. Le côté opposé à l'angle α vaut

${\displaystyle a=P\times {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma }}}$.

Les formules pour les deux autres côtés de déduisent de la même manière, mutatis mutandis.

La résolution d'un triangle en géométrie sphérique (géométrie non euclidienne) est légèrement différente du cas euclidien, car la loi des sinus ne permet pas d'obtenir un côté de manière univoque — uniquement son sinus. De plus, un triangle sphérique dont les trois angles sont connus est soluble, contrairement à un triangle du plan euclidien et la solution est unique.

Les formules utilisées pour résoudre un triangle sphérique sont :

• les généralisations de la loi des cosinus (variantes portant sur les angles et sur les côtés) ;
• le théorème de l'Huilier ;
• les analogies de Napier ;
• la somme des angles d'un triangle vaut π plus l'excès E (=S/R²).

Dans un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus, les angles s'obtiennent par la généralisation du théorème d'Al-Kashi et l'aire par le théorème de l'Huilier :

• ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)}$,
• ${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\right)}$,
• ${\displaystyle E=4\arctan {\sqrt {\tan \left({\frac {p}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-a}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-b}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-c}{2}}\right)}}}$ où ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$.

Dans un triangle où deux côtés a et b et l'angle qu'ils forment γ sont connus, le dernier côté s'obtient par le théorème d'Al-Kashi généralisé et les deux angles restants par les analogies de Napier :

• ${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)}$,
• ${\displaystyle \alpha =\arctan \left\{{\frac {2\sin a}{\tan(\gamma /2)\sin(b+a)+\cot(\gamma /2)\sin(b-a)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \beta =\arctan \left\{{\frac {2\sin b}{\tan(\gamma /2)\sin(a+b)+\cot(\gamma /2)\sin(a-b)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\gamma +2\arctan \left\{\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right){\frac {\cos \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}{\cos \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}}\right\}-\pi }$.

On considère un triangle dont un angle β, un côté adjacent c et le côté opposé b sont connus. L'angle γ s'obtient par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. Il n'y a de solution que si

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta )\,}$.

Alors

• ${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}$,
• ${\displaystyle a=2\arctan \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arccot} \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}}$.
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$

Une autre solution existe lorsque b > c et que γ est aigu :

• ${\displaystyle \gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}$, etc.

Dans un triangle où deux angles α et β sont connus, ainsi que le côté commun à ces angles c, le dernier angle s'obtient par la formule d'al-Kashi et les deux derniers côtés par les analogies de Napier. Les formules pour l'angle manquant et les côtés ressemblent à celles du cas de résolution complémentaire (un angle et les deux côtés adjacents connus) :

• ${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )\,}$,
• ${\displaystyle a=\arctan \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\cot(c/2)\sin(\beta +\alpha )+\tan(c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}}$,
• ${\displaystyle b=\arctan \left\{{\frac {2\sin \beta }{\cot(c/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )-\pi \,}$.

On considère un triangle dans lequel deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté opposé à l'un de ces angles a. Le côté b se trouve par la loi des sinus et les éléments restants par les analogies de Napier. On notera la similitude entre les équations ci-dessous et le cas de résolution complémentaire (un angle, le côté opposé et un côté adjacent) :

• ${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$,
• ${\displaystyle c=2\arctan \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle \gamma =2\operatorname {arccot} \left\{\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}}$,
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$.

Si a est aigu et que α > β, il existe une autre solution :

• ${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$, etc.

Dans le cas où les trois angles sont connus, les côtés s'obtiennent par une variante du théorème d'Al-Kashi pour les angles. Les formules donnant les côtés sont semblables à celles du cas de résolution complémentaire (les trois côtés connus) :

• ${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$,
• ${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$,
• ${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)}$.
• ${\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi \,}$