Test de Wald

Dans le cadre du test de Wald, l'estimation ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ (l'argument où la fonction de vraisemblance est maximal) est comparée à une valeur hypothétique ${\displaystyle \theta _{0}}$. En particulier, la différence au carré ${\displaystyle {\hat {\theta }}-\theta _{0}}$ est pondérée par la courbure de la fonction de log-vraisemblance.

Si l'hypothèse n'implique qu'une seule restriction de paramètre, alors la statistique de Wald prend la forme suivante :

${\displaystyle W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}$

qui, sous l'hypothèse nulle, suit une distribution χ² asymptotique avec un degré de liberté.

Le test de Wald peut être utilisé pour tester une seule hypothèse sur plusieurs paramètres, ainsi que pour tester conjointement plusieurs hypothèses sur des paramètres uniques/multiples. Soit ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ notre estimateur d'échantillon des paramètres P (c'est-à-dire, ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ est un ${\displaystyle P\times 1}$ vecteur), qui est supposé suivre asymptotiquement une distribution normale avec matrice de covariance V, ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)}$. Le test des hypothèses Q sur les paramètres P s'exprime par une matrice ${\displaystyle Q\times P}$ ; R :

${\displaystyle H_{0}:R\theta =r}$

${\displaystyle H_{1}:R\theta \neq r}$

La statistique de test est :

${\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}}$

où ${\displaystyle {\hat {V}}_{n}}$ est un estimateur de la matrice de covariance.

Supposons que ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)}$. Alors, par le théorème de Slutsky et par les propriétés de la distribution normale, en multipliant par R on a la distribution :

${\displaystyle R{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )={\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,RVR')}$

Rappelons qu'une forme quadratique de la loi normale possède une distribution χ² :

${\displaystyle {\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[RVR']^{-1}{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,\chi _{Q}^{2}}$

En réarrangeant n on obtient finalement :

${\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R(V/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}}$

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