アーベルの判定法

実数列 ${\displaystyle (a_{n}),\,(b_{n})}$ が次を満たすとする：

• ${\textstyle \sum a_{n}}$ は収束する。
• ${\displaystyle (b_{n})}$ は単調かつ有界である。

このとき ${\textstyle \sum a_{n}b_{n}}$ は収束する。^[1]

集合 ${\displaystyle X}$ 上の実数値関数列 ${\displaystyle (f_{n}),\,(g_{n})}$ が次を満たすとする：

• ${\displaystyle (f_{n})}$ は ${\displaystyle X}$ 上一様収束する。
• 各 ${\displaystyle x\in X}$ に対して数列 ${\displaystyle (g_{n}(x))}$ は単調である。
• ${\displaystyle (g_{n})}$ は ${\displaystyle X}$ 上一様有界である。すなわち、ある ${\displaystyle M\geq 0}$ が存在して、任意の ${\displaystyle x\in X}$ および任意の自然数 ${\displaystyle n}$ に対して ${\displaystyle \vert g_{n}(x)\vert \leq M}$ が成り立つ。

このとき ${\textstyle \sum f_{n}g_{n}}$ は ${\displaystyle X}$ 上一様収束する。^[2]

区間 ${\displaystyle [a,\infty )}$ 上の実数値関数 ${\displaystyle f,\,g}$ が次を満たすとする：

• ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}$ は収束する。
• ${\displaystyle g}$ は ${\displaystyle [a,\infty )}$ 上単調かつ有界である。

このとき ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}$ は収束する。^[3]