バウムクーヘン積分

公式は次の通りである。xy-平面上での断面を y-軸上で回転させることで得られる三次元での体積について考える。断面が区間 [a, b] 上の正函数 f (x) で定義されているとする。このとき、体積の公式は

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

となる。

もし函数が y 座標にあり、回転軸が x-軸とすると公式は次のようになる。

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

もし函数が線 x = h にそって回転させるとすると、公式は

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h\end{cases}}}$

となり^[1]、回転軸が y = k の時には

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k\end{cases}}}$

となる。

公式は極座標系で二重積分を計算することで得られる。