Summarize Timeline Top Qs Fact Check 積分In を計算するには、含まれている整数パラメータをn として、漸化式を使用してまず (n – 1) や (n – 2) を含む積分で表す。それを積分が実際に計算できるところまで（通常は指数が０か１になるまで）繰り返す。その後、漸化式を逆にたどりながら、低い指数の積分を代入することでより高い指数の積分を求めていく[ 1]
計算手順の例を示す。
以下の積分は、漸化式により計算できる。
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\,\!}
n = 1, 2 ... 30のときの
∫
cos
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!}
初めに、In を以下のように定義する。
I
n
=
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\,\!}
In は以下のように書き換えられる。
I
n
=
∫
cos
n
−
1
x
cos
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x\,\!}
以下のように置換積分を行う。
cos
x
d
x
=
d
(
sin
x
)
{\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x)\,\!}
I
n
=
∫
cos
n
−
1
x
d
(
sin
x
)
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!}
さらに部分積分を行う。
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
(
cos
n
−
1
x
)
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
sin
x
cos
n
−
2
x
sin
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
sin
2
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
(
1
−
cos
2
x
)
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
d
x
−
(
n
−
1
)
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
−
(
n
−
1
)
I
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\end{aligned}}\,}
In について解くと
I
n
+
(
n
−
1
)
I
n
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2}\,}
n
I
n
=
cos
n
−
1
(
x
)
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2}\,}
I
n
=
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
+
n
−
1
n
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\,}
これにより漸化式は
∫
cos
n
x
d
x
=
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x\!}
となる。例としてn = 5の場合、以下のように計算できる。
I
5
=
∫
cos
5
x
d
x
{\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x\,\!}
低い次数のIn を計算する。
n
=
5
,
I
5
=
1
5
cos
4
x
sin
x
+
4
5
I
3
{\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3}\,}
n
=
3
,
I
3
=
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
I
1
{\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1}\,}
逆代入すると、
∵
I
1
=
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
1
{\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1}\,}
∴
I
3
=
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
sin
x
+
C
2
,
C
2
=
2
3
C
1
{\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1}\,}
となり、最終的にI5 は以下のように計算される。
I
5
=
1
5
cos
4
x
sin
x
+
4
5
[
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
sin
x
]
+
C
{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C\,}
C は定数である。
積分漸化式が適用できる別の典型例として、以下のような積分がある。
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
初めに、In を以下のように定義する。
I
n
=
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
以下のように置換積分を行う。
x
n
d
x
=
d
(
x
n
+
1
)
n
+
1
{\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}}\,\!}
I
n
=
1
n
+
1
∫
e
a
x
d
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})\!}
次に部分積分を行う。
∫
e
a
x
d
(
x
n
+
1
)
=
x
n
+
1
e
a
x
−
∫
x
n
+
1
d
(
e
a
x
)
=
x
n
+
1
e
a
x
−
a
∫
x
n
+
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x\end{aligned}}\!}
(
n
+
1
)
I
n
=
x
n
+
1
e
a
x
−
a
I
n
+
1
{\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1}\!}
指数を１つずらし、n + 1 → n , n → n – 1とすると、
n
I
n
−
1
=
x
n
e
a
x
−
a
I
n
{\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n}\!}
となる。In について解くと
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
となる。積分漸化式は
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
となる。
e
a
x
{\displaystyle e^{ax}}
e
a
x
d
x
=
d
(
e
a
x
)
a
{\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}}\,\!}
I
n
=
1
a
∫
x
n
d
(
e
a
x
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})\!}
部分積分を行う。
∫
x
n
d
(
e
a
x
)
=
x
n
e
a
x
−
∫
e
a
x
d
(
x
n
)
=
x
n
e
a
x
−
n
∫
e
a
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x\end{aligned}}\!}
逆代入すると
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
となり、先ほどの
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
と等価になる。
ここまでの導出は部分積分によって行うこともできる。
I
n
=
∫
x
n
x
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x\!}
u
=
x
n
,
d
v
=
e
a
x
{\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax}}
d
u
d
x
=
n
x
n
−
1
,
v
=
e
a
x
a
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ }
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
∫
n
x
n
−
1
e
a
x
a
d
x
{\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ }
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }
ここで
I
n
−
1
=
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }
∴
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
I
n
−
1
{\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}}
となるため、逆代入すると以下のようになる。
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
これは以下の式に等しい。
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
![{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe62b96da4dcd19949be358d5354faed7a7f0a6)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62922721540ee6636beadc5183d305fa0a98b)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf63aea753eb3517e589623b4728e1545c012b)
![{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ab79c10f4eed2620c496fac8b476174a84477)
![{\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ed60b99d5d7b4dfa736c3627c68021c847b44)
