カイ二乗分布

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ²分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され^[1]、ピアソンにより命名された^[2]。

k\in \mathbb {N}

台

[0, \infty)

確率密度関数

{\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}

累積分布関数

{\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}

概要母数, 台 ...

カイ二乗分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$k\in \mathbb {N}$
台	$[0, \infty)$
確率密度関数	${\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}$
累積分布関数	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$
期待値	$k$
中央値	$\simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}$
最頻値	$0 for k < 2 k - 2 for k \geq 2$
分散	$2 k$
歪度	${\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}$
超過尖度	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}12/k$
エントロピー	$k / 2 + ln 2 + ln Γ(k / 2) + (1 - k / 2)ψ(k / 2)$
モーメント母関数	${\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2$
特性関数	${\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}$
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}
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独立に標準正規分布に従う $k$ 個の確率変数 $X 1, \dots, X k$ をとる。このとき、統計量

Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}

の従う分布のことを自由度 $k$ のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを

Z\sim \chi _{k}^{2}

と書く。カイ二乗分布は $k$ という1個の母数をもつ。これは $X i$ の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定（英語版）などにも利用される。

性質

カイ二乗分布の確率密度関数は $x \geq 0$ に対し

f(x;k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}

また $x \leq 0$ に対し $f k (x) = 0$ という形をとる。ここで $Γ$ はガンマ関数である。

分布関数は

F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}

（ただし $γ (k, z)$ は不完全ガンマ関数）である。

$Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}$ （ただし $X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}$ と $X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、 $Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ 、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。

$X\sim \chi _{2}^{2}$ （自由度2）ならば、 $X$ は期待値 $2$ の指数分布に従う。

自由度 $k$ のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値は $k$ で、分散は $2 k$ である。中央値は近似的に

k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}

となる。

カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、 $X\sim \chi _{m}^{2},\ Y\sim \chi _{n}^{2}$ ならば、 $X+Y\sim \chi _{m+n}^{2}$ となる。

正規分布による近似

$X\sim \chi _{k}^{2}$ として、 $k$ が無限大に近づくと $X$ の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 ${\sqrt {\frac {8}{k}}}$ 、尖度 $12 / k$ ）ため、 $X$ 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。

${\sqrt {2X}}$ は近似的に平均 $\sqrt 2 k - 1$ 、分散 $1$ の正規分布に従う（ロナルド・フィッシャー）。
${\sqrt[{3}]{\frac {X}{k}}}$ は近似的に平均 $1 - 2 / 9 k$ 、分散 $2 / 9 k$ の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。

カイ二乗分布

性質

正規分布による近似

出典

関連項目

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