サーモンの定理

Oを中心とする円と任意の点A,Bについて、B,Aの極線へのA,Bの直交射影（垂足）をP,Qとしたとき、${\displaystyle {\frac {OA}{OB}}={\frac {OP}{OQ}}}$が成立する^{[1][2][3][4][5]}。

この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した^[6]。

円錐曲線Sと任意の点A,Bに関して、A,Bの極線のA,Bを通る垂線とSの一方の軸との交点をそれぞれM,N、B,Aの極線へのA,Bの直交射影をP,Qとしたとき、${\displaystyle {\frac {AM}{BN}}={\frac {AP}{BQ}}}$が成立する。

円周O上の任意の一点Pを通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円のPでない方の交点は共線である^[2][7]。これはOと3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。

この定理には小倉金之助による一般化が存在する^[8]。

2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける^[1]。

ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線S,S'について、S'に内接する任意の三角形がSに関して自共役であるとする。このときS'に内接する三角形のSに関する極はS'上にある。Sに外接する三角形のS'に関する軸はSに接する^[2]。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する^[9]。

円に内接する六角形abcdefにおいて、たとえばab,cdの交点を(ab , cd)と表す。(ab , de),(bc , ef),(cd , fa)はパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線を${\displaystyle {\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&bc\end{Bmatrix}}}$と書く。

今、それぞれab,cd,ef、de,fa,bc、cf,be,adの成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

${\displaystyle {\begin{matrix}ab&cd&ef,\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\de&bf&ac\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\af&ce&bd\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\bc&ae&df\end{Bmatrix}},\\{\begin{Bmatrix}ab&cd&ef\\cf&bd&ae\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}cd&bf&ae\\be&ac&df\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}ef&bd&ac\\ad&ce&bf\end{Bmatrix}},\\\end{matrix}}}$

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という^[2][10]。アーサー・ケイリーの名を冠する。

他、三次曲面（英語版）や代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある^[11][12][13]。

三角形に関しては、重心、垂心、外心、九点円の中心（英語版）が調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある^[14]。