テボーの定理

ある三角形ABCと、BC上の点Mについて、BC, AMと三角形ABCの外接円に接する（内接する）円をAMの両側にそれぞれ作る。 2つの円の中心P, Qと三角形ABCの内心Iは共線である^[5][6][7][8]。澤山-テボーの定理 (Sawayama-Thébault theorem, Sawayama and Thébault's theorem) とも呼ばれている^{[9][注 1]}。また、円P, Qは曲線内接円 (curvilinear incircle) と呼ばれる^[11]。

2003年まで、学界はテボーの問題 IIIの証明はこれらの問題の中で最も難しいと考えていた。テボーの問題 IIIは1938年、American Mathematical Monthly（英語版） で紹介され、1973年に、オランダの数学者H・ストリーフカーク (H. Streefkerk) によって証明された^[12]。しかし東京の陸軍中央幼年学校の教官であった陸軍教授^[13]澤山勇三郞が1905年に独自に証明を与えていた^[14][15]ことが、2003年、ジャン＝ルイ・エム (Jean-Louis Ayme) によって発見された^[16]。

テボーの問題 IIIの円を傍接に置き換えたもの、つまり内心を傍心に、2つの円を外接円に外接するように置き換えたものは、2002年、Shay Gueron によって発見され、 ケイシーの定理を用いて証明された ^[17]。澤山-テボーの定理は以下のようにも言い換えることができる^[17][18][19]。

・円QとBC, AMの接点をE, Fとする。E, F, Iは共線である^[16][20][21]。

円Qと△ABCの外接円Oとの接点をKとする。Kを中心とする円の相似からKEとOの交点Nは弧BCの中点、つまりAIとOの交点である。したがって、KEは∠BKCの二等分線である。またKFとOの交点をL、ANとEFの交点をJとして、EF//NLなのでライムの定理^{[注 2]}の逆から、A, J, F, Kは共円である。△AFJとF, E, Jに、ミケル点をKとしてミケルの定理を用いることで、AJと円JEKはJで接することが分かる。円Q, JEKはEKで共軸で、AJと円JEKが接することから、Nを中心としJを通る円と円JEK, Qは直交する。ところで、∠NKB = ∠NCB = ∠NBCと接弦定理の逆から円BKEはBNと接するので、共軸な3円Q, JEK, BEKは、すべてNを中心としJを通る円と直交する。したがってNB = NJ = NCである。トリリウムの定理よりNB = NI = NCなのでI = J。以上よりE, F, Iの共線が示された。

特にM = Bとすると、円QはBの混線内接円となり、この補題はニクソンの定理 (theorem of Nixon,Nixon theorem) と呼ばれる^[23]。Dao Thanh Oaiは等角共役点を用いた一般化を発表している^[9]。

・P, Q, Iは共線である。

円PとBC, AMの接点をG, Hとする。P, Qはそれぞれ∠AMBの内側、外側の二等分線上にあり、またGH, EFはそれぞれの垂線であるので、GH//MQ, EF//MPである。さらにPG//QEなのでパップスの六角形定理の逆より、P, Q, Iの共線が示された。

• Thébault's problems and variations at cut-the.knot.org