混線内接円

三角形 ${\displaystyle ABC}$ の ${\displaystyle A}$ 傍接円は一意に存在する。${\displaystyle A}$ を中心とし ${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$ を半径とする反転と、角 ${\displaystyle A}$ の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を ${\displaystyle \Phi }$ とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、${\displaystyle \Phi }$ も同様である。このとき、${\displaystyle \Phi }$ による ${\displaystyle A}$ 傍接円の像は、辺 ${\displaystyle AB}$ と辺 ${\displaystyle AC}$ に内接し、かつ三角形 ${\displaystyle ABC}$ の外接円に接するので、すなわち ${\displaystyle A}$ 混線内接円である。したがって、${\displaystyle A}$ 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により ${\displaystyle B}$ と ${\displaystyle C}$ に対しても同じことが示される^[2]。

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${\displaystyle A}$ 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる^[3]。

1. 角の二等分線を交わらせることで内心 ${\displaystyle I}$ を描く。
2. ${\displaystyle I}$ を通り直線 ${\displaystyle AI}$ に垂直な直線を描き、直線 ${\displaystyle AB}$ と ${\displaystyle AC}$ との交点をそれぞれ点 ${\displaystyle D}$ と ${\displaystyle E}$ とする。これらは混線内接円が接する点になる。
3. 点 ${\displaystyle D}$ と ${\displaystyle E}$ からそれぞれ ${\displaystyle AB}$ と ${\displaystyle AC}$ の垂線を描き、その交点を ${\displaystyle O_{A}}$ とする。${\displaystyle O_{A}}$ を中心とし ${\displaystyle O_{A}E}$ を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である^[4][5]。

${\displaystyle \Gamma }$ を三角形 ${\displaystyle ABC}$ の外接円とし、${\displaystyle T_{A}}$ を ${\displaystyle A}$ 混線内接円 ${\displaystyle \Omega _{A}}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の接点とする。${\displaystyle T_{A}}$ と異なる点 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ を、それぞれ ${\displaystyle T_{A}D}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の、${\displaystyle T_{A}E}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の交点とする。${\displaystyle T_{A}}$ を中心として ${\displaystyle \Omega _{A}}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ のあいだに相似変換を施すことにより、${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ がそれぞれ ${\displaystyle \Gamma }$ の弧 ${\displaystyle AB}$ と ${\displaystyle AC}$ の中点であることがわかる。円周角の定理により、${\displaystyle X,I,C}$ と ${\displaystyle Y,I,B}$ がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を ${\displaystyle \Gamma }$ に接する六角形 ${\displaystyle XCABYT_{A}}$ に適用することにより、${\displaystyle D,I,E}$ が共線であることがわかる。角 ${\displaystyle \angle {DAI}}$ と ${\displaystyle \angle {IAE}}$ が等しいことから、${\displaystyle I}$ が線分 ${\displaystyle DE}$ の中点であることが従う^[2]。

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次の公式は内接円の半径 ${\displaystyle r}$ と三角形 ${\displaystyle ABC}$ の ${\displaystyle A}$ 混線内接円の半径 ${\displaystyle \rho _{A}}$ を結びつける^[6]。

$${\displaystyle r=\rho _{A}\cos ^{2}{\frac {A}{2}}}$$

このことから即座に次の式が従う：

$${\displaystyle AD=AE={\frac {\rho _{A}}{\tan {\frac {A}{2}}}}={\frac {2r}{\sin {A}}}={\frac {bc}{s}}}$$

ただし ${\displaystyle s}$ は半周長であり、またこの式は点 ${\displaystyle A,B,C}$ と円 ${\displaystyle O}$ に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる^[7]。

• 点 ${\displaystyle A}$ を含む弧 ${\displaystyle BC}$ の中点は直線 ${\displaystyle T_{A}I}$ 上にある^[8][9]。
• 四角形 ${\displaystyle T_{A}XAY}$ は調和四角形である。すなわち、${\displaystyle T_{A}A}$ は三角形 ${\displaystyle XT_{A}Y}$ の類似中線である^[2]。

• ${\displaystyle T_{A}BDI}$ と ${\displaystyle T_{A}CEI}$ は共円四辺形である^[8]。

• ${\displaystyle T_{A}}$ は ${\displaystyle B}$ と ${\displaystyle I}$ をそれぞれ ${\displaystyle I}$ と ${\displaystyle C}$ に写す螺旋相似（英語版）の中心である^[2]。

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各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle CentersではX₅₆として紹介されている^[10]。三線座標では ${\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}}$ であり、重心座標では ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}}$ である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる^[11]。

三つの混線内接円の根心 ${\displaystyle J}$ は、${\displaystyle OI}$ を$${\displaystyle OJ:JI=2R:-r}$$に内分する。ここで ${\displaystyle I}$ は内心、${\displaystyle r}$ は内半径、${\displaystyle O}$ は外心、${\displaystyle R}$ は外半径である^[9]。

${\displaystyle J}$はミッテンプンクトの等角共役X₅₇と内心の中点である。また、重心とジョンソン中点（オランダ語版）と共線である。Encyclopedia of Triangle CentersではX₉₉₉に該当し三線座標は以下の式で与えられる^[12]。

${\displaystyle a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4ca-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})}$