ニュートン・ガウス線

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一般の位置（英語版）にある（どれも平行でないかつ共点でない）4つの直線は、完全四辺形（英語版）を成す。この配置（英語版）は4本の直線とその6つの交点から成る^[3]。この6点のうち任意の2点を端点とする線分が、もと4直線の交点以外で交わるように、6つの交点を3組に分割することができる。この3つの線分を完全四辺形の対角線という。

完全四辺形の対角線の中点が共線であることはとても有名な定理である^[4]。証明方法も多く存在しており、例えば面積^[4]や楔積^[5]、ガウス・ボーデンミラーの定理^[1]を用いるものなどがある。ここでは、1920年のHillyerによるメネラウスの定理を用いた証明を紹介する^[6]。

対角線がAA', BB', CC'であるような完全四辺形ABCA'B'C'について、線分AA', BB', CC',BC, CA', A'Bの中点をそれぞれL, M, N, P, Q, Rとする。明らかにL, Q, Rは共線である。同様にM, R, PとN, P, Qも共線であるから、三角形の相似より次の関係式が成立する。

${\displaystyle {\frac {\overline {RL}}{\overline {LQ}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {AC}}},\quad {\frac {\overline {QN}}{\overline {NP}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {C'B}}},\quad {\frac {\overline {PM}}{\overline {MR}}}={\frac {\overline {CB'}}{\overline {B'A'}}}.}$

ただし、直線A’B'C と△ABC' にメネラウスの定理を用いて、3つの式の右辺の積は-1となる。したがって左辺の積は-1となるから、△PQRにメネラウスの定理の逆を使用して、点 L, M, Nは共線である。

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BarbuとPatrascuによる、円に内接する四角形から作られる完全四辺形のニュートン・ガウス線を用いた定理を挙げる^[7]。

円に外接する四角形ABCDの対角線AC, BDの交点をF、対辺AB, CDの交点をE、 EFの中点をN、BCの中点をMとする（図1）。

BFの中点をPとすれば、完全四辺形ABCDEFのニュートン・ガウス線と直線PMによって決定される角∠PMNは∠EFDと等しい。

三角形 △NPM, △EDFの相似を示す。

BE ∥ PNとFC ∥ PMから∠NPM = ∠EACが分かる。また、${\displaystyle {\tfrac {\overline {BE}}{\overline {PN}}}={\tfrac {\overline {FC}}{\overline {PM}}}=2}$である。

円に外接する四角形の性質より、

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle EDF&=\angle ADF+\angle EDA,\\&=\angle ACB+\angle ABC,\\&=\angle EAC.\end{aligned}}}$

したがって∠NPM = ∠EDF。

R₁, R₂を△EDB, △FCDの外接円の半径として、正弦定理を使用することにより、

${\displaystyle {\frac {\overline {BE}}{\overline {FC}}}={\frac {2R_{1}\sin \angle EDB}{2R_{2}\sin \angle FDC}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {2R_{1}\sin \angle EBD}{2R_{2}\sin \angle FCD}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {DF}}}.}$

BE = 2 · PN と FC = 2 · PMより${\displaystyle {\tfrac {\overline {PN}}{\overline {PM}}}={\tfrac {\overline {DE}}{\overline {DF}}}}$。△PMN, △DFEの相似から∠NMP = ∠EFD。

FCの中点をQとすれば、同様にして∠NMQ = ∠EFAが成立する。

完全四辺形ABCDEFのニュートン・ガウス線のEを通る平行線は、∠BECにおける直線EFの等角共役線である^[7]。

三角形△EDF, △NPM は相似であるから、∠DEF = ∠PNMである。完全四辺形ABCDEFのニュートン・ガウス線NMのEを通る平行線とBCの交点をE'とする。

PN ∥ BE と NM ∥ EE' より、∠BEF = ∠PNF, ∠FNM = ∠E'EF。

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle CEE'&=\angle DEF-\angle E'EF,\\&=\angle PNM-\angle FNM,\\&=\angle PNF=\angle BEF.\end{aligned}}}$

GとHを、点Fのそれぞれ直線AB,CDにおける直交射影とする。

四角形MPGN, MQHNは円に内接する^[7]。

前項で示したように、∠EFD = ∠PMN。 点PとNはそれぞれ直角三角形△BFG, △EFGの外心であるから∠PGF = ∠PFGと∠FGN = ∠GFNが成立する。

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle PGN+\angle PMN&=(\angle PGF+\angle FGN)+\angle PMN\\[4pt]&=\angle PFG+\angle GFN+\angle EFD\\[4pt]&=180^{\circ }\end{aligned}}.}$

よってMPGNは円に内接する。同様にして、MQHNも円に内接する。

GF, HFの延長線は、それぞれEC, EBとI, Jで交わるとする。

完全四辺形 EFGHIJ, ABCDEFのニュートン・ガウス線は一致する^[7]。

2つの完全四辺形は対角線EFを共有する。Nは双方のニュートン・ガウス線上に位置する。四角形EGFHが円に内接することと、その円の中心がNであることより、NはG,Hと等距離（英語版）である。

△GMP, △HMQ が合同ならば、MはHGの垂直二等分線上に位置するから、 直線MNは線分GHの中点を含むみ、完全四辺形EFGHIJのニュートン・ガウス線となる。

△GMP, △HMQの合同を示す。BF, BCの中点がM, Pであることより、PMQFは平行四辺形である。

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {MP}}={\overline {QF}}={\overline {HQ}},\\&{\overline {GP}}={\overline {PF}}={\overline {MQ}},\\&\angle MPF=\angle FQM.\end{aligned}}}$

更に、

${\displaystyle \angle FPG=2\angle PBG=2\angle DBA=2\angle DCA=2\angle HCF=\angle HQF.}$

よって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle MPG&=\angle MPF+\angle FPG,\\&=\angle FQM+\angle HQF,\\&=\angle HQF+\angle FQM,\\&=\angle HQM.\end{aligned}}}$

したがって、二辺夾角相等より△GMPは △HMQは合同。

△GMP, △HMQが合同であることから、 MPGN, MQHNの外接円も合同である。

• ニュートン・ガウス線の無限遠点の等角共役点は、完全四辺形のミケル点である。さらに、そのシムソン線は、ニュートン・ガウス線と直交する^[8]。
• 5つの線から成る5つの完全四辺形のニュートン・ガウス線は共点である^[2]。

ニュートン・ガウス線はアイザック・ニュートンとカール・フリードリヒ・ガウスの名を冠する^[要出典]。この定理の最初の枠組みはニュートン線における定理、ニュートンの定理であり、ニュートンは四角形に内接する円錐曲線の中心はニュートン・ガウス線上にあることを示した^[9]。

ガウスとボーデンミラー（Bodenmiller）は、完全四辺形の対角線を直径とする3つの円は共軸であることを示した（ガウス・ボーデンミラーの定理）^[10]。