バルジライ・ボールウェイン法

点 ${\displaystyle x}$ において勾配 ${\displaystyle g}$ を用いて凸関数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ を最小化する。ここで直前の二つの反復点における勾配 ${\displaystyle g_{k-1}(x_{k-1})}$、${\displaystyle g_{k}(x_{k})}$ とすると、反復点は ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}-\alpha _{k-1}g_{k-1}}$ で求めることができる。ただし、${\displaystyle \alpha _{k-1}}$ は直前の反復におけるステップサイズである（バルジライ・ボールウェイン法のステップサイズとは限らない）。ここで、${\displaystyle \Delta x=x_{k}-x_{k-1}}$、${\displaystyle \Delta g=g_{k}-g_{k-1}}$とおく。

バルジライ・ボールウェイン法の反復式は ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-\alpha _{k}g_{k}}$ であり、ステップサイズ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ は以下のどちらかが選ばれる:

• [long BB step] ${\displaystyle \alpha _{k}^{LONG}={\frac {\Delta x\cdot \Delta x}{\Delta x\cdot \Delta g}}}$
• [short BB step] ${\displaystyle \alpha _{k}^{SHORT}={\frac {\Delta x\cdot \Delta g}{\Delta g\cdot \Delta g}}}$

バルジライ・ボールウェイン法はまた ${\displaystyle g(x)=0}$、${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ のような方程式系に対して適用することができる。このとき ${\displaystyle g}$ のヤコビ行列は正定値行列であるとし、${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta g}$ が正である必要がある。

• Jonathan Barzilai

表 話 編 歴 数理最適化 • 最適化問題 : メソッド • ヒューリスティック
非線形（無制約）	… 関数　 黄金分割探索 直線探索 ネルダー–ミード法 放物線補間 パウエル法 勾配法 収束性 信頼領域 ウルフ条件 準ニュートン法 BFGS法 ブロイデン法 L-BFGS法 DFP法 SR1法 BHHH法 その他の求解法 ガウス・ニュートン法 最急降下法（確率的） レーベンバーグ・マーカート法 共役勾配法（非線形共役勾配法） 打ち切りニュートン法 ドッグレッグ法 鏡像 座標 バルジライ・ボールウェイン法 … ヘッセ行列 最適化におけるニュートン法
非線形（制約付き）	一般 バリア関数 ペナルティ関数法 微分可能 ラグランジュの未定乗数法 拡張ラグランジュ関数法 逐次二次計画法 逐次線形計画法 逐次線形二次計画法
凸最適化	凸最小化 切除平面法 簡約勾配法 劣勾配法 近接勾配法 線形 および 二次 内点法 アフィンスケーリング法 カーマーカーの射影変換法 メロートラの予測子修正子法 基底-交換 単体法 改訂単体法 十文字法 レムケの相補掃き出し法 その他 カチヤンの楕円体法 有効制約法 列生成法 ベンダーズ分解法
組合せ最適化	系列範例 (Paradigms) 近似アルゴリズム 動的計画法 貪欲法 整数計画問題（分枝限定法・分枝カット法・分枝価格法） グラフ理論 最小全域木 ブルーフカ法 クラスカル法 プリム法 最短経路問題 ベルマン–フォード法 ダイクストラ法 ワーシャル–フロイド法 ジョンソン法 ネットワークフロー (最大流問題) ディニッツ法 エドモンズ・カープ法 フォード・ファルカーソン法 プリフロープッシュ法
メタヒューリスティクス	進化的アルゴリズム（進化戦略・遺伝的アルゴリズム） 山登り法 局所探索法 焼きなまし法 タブーサーチ 群知能 ベイスンホッピング法 量子焼きなまし法
カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア

この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

• 表示
• 編集