近接勾配法

近接勾配法（きんせつこうばいほう、英: Proximal gradient methods）とは微分不可能凸最適化問題を解くための射影を用いた解法である。以下のような凸最適化問題として定式化されたとする:

${\displaystyle \operatorname {min} \limits _{x\in \mathbb {R} ^{N}}\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)}$

ただし、${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n}$ は微分不可能な凸関数を含んでいるとする。微分不可能な凸関数を含んでいる場合は最急降下法や共役勾配法は使用できないため、この場合に近接勾配法が使用される。

近接勾配法は分離ステップから開始され、関数 ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}$ を個別の問題として扱うことで実装が容易なアルゴリズムによって問題を解く。近接という名称は ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}$ に含まれる微分不可能な関数それぞれが近接作用素（英語版）を介して扱うことから名づけられている。反復縮小しきい値アルゴリズム（英: Iterative shrinkage thresholding algorithm）^[1]、射影ランドウェバー法（英語版）、射影勾配法、交互射影法（英語版）、 交互乗数法、交互分離ブレグマン法（英語版）は近接勾配法の特別な例として知られている^[2]。

近接勾配法の理論は統計的学習理論（英語版）に応用されており、詳細は近接勾配法による学習（英語版）を参照。