プロカ方程式

この項で解説するのは、プロカ方程式を導出する最も単純なラグランジアン密度であるプロカ形式である。質量を持つベクトル場を記述する形式として、他にシュテュッケルベルク形式がある。プロカ形式は、シュテュッケルベルク形式における補助スカラー場を0とした場合と等しい形式である。

プロカ形式のラグランジアン密度は以下のように表記される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\nu }A^{\nu }}$

ここで、A_νは実ベクトル場で、${\displaystyle F_{\mu \nu }\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$（A_νが電磁場の場合は電磁場テンソル）である。このラグランジアン密度はベクトル場の質量項が存在するためにゲージ不変性を破っている。

上記のラグランジアン密度をオイラー＝ラグランジュ方程式

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

に代入して得られる運動方程式がプロカ方程式である。

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+m^{2}A^{\nu }=0}$

ここで、両辺に ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ をかけて、${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0}$ を用いると、m≠0 のとき、ローレンツゲージ条件

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$

が自動的に導ける。これより、結局、プロカ方程式は

${\displaystyle \left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)A^{\nu }=0}$

となる。

なお、四元ベクトルポテンシャルは本来４成分であるが、ローレンツゲージ条件が課されていることにより、独立な成分は３成分になる。これはプロカ方程式によって記述される粒子がスピン1の粒子であることに対応している。

1. ↑ Proca, A. (1936). “Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et négatifs”. Journal de Physique et le Radium 7: 347–353. doi:10.1051/jphysrad:0193600708034700.