ファデエフ＝ポポフゴースト

ゴースト場は、ゲージ理論を経路積分によって定式化する際、ゲージの冗長性に起因する数学的な特異性を排除し、物理的に意味のある解を導出するために導入される。ゲージ対称性を有する理論では、ゲージ変換によって結ばれる物理的に等価な場の配位が無限に存在するため、単純な経路積分ではこれらを重複してカウントすることになり、積分が発散するという問題が生じる。この重複は経路積分の測度における過剰な因子として現れるため、元の作用から直接ファインマン・ダイアグラムを用いた摂動計算を行うことが不可能となる。

この問題は、作用にゴースト場およびゲージ固定項を追加し、ゲージ対称性を（数学的に）固定することで解決される。この手法はファデエフ＝ポポフの方法と呼ばれる。ゴースト場は観測可能な実在の粒子ではなく、あくまで計算上の機巧（ツール）であり、仮想粒子としてのみファインマン・ダイアグラムの内部線に現れる。しかし、非物理的な自由度を相殺し、理論のユニタリ性を保持するためには不可欠な存在である。

物理量はゲージの選択に依らない（ゲージ不変である）が、ゴースト場を含む具体的な計算形式はゲージの選び方に依存する。計算においては、ファインマン＝トホーフトゲージ（ファインマンゲージ）を採用するのが最も簡便である。以後、このゲージを仮定して記述する。

ゴースト場に対しては、スピン-統計性の関係が成立しない。これはゴースト場が非物理的な場であることの理由づけとなっている。例えば、量子色力学などのヤン＝ミルズ理論では、ゴースト場はスピン 0 の実スカラー場であるが、フェルミオンのように反可換な場で表される。

一般に、ボゾン的な対称性に対しては反可換なゴースト場、フェルミオン的な対称性に対しては可換なゴースト場が必要となる。

ファインマン・ダイアグラムでは、ゴースト場は3点の頂点を通じてゲージ場と繋がる閉じたループとしてのみ現れる。このダイアグラムのS行列への寄与は、（ファインマン＝トホーフトゲージでは）3点の頂点からなるゲージ場のループと完全に相殺される。3点以外の頂点を含むゲージ場のループはゴースト場のループとは相殺されない。

ゴースト場とゲージ場のループの寄与が互いに逆符号となるのは、フェルミオンとボゾンが互いに逆の性質（フェルミオンの閉じたループには -1 が余分につく）を持っていることに由来する。

ゲージ条件 ${\displaystyle \Phi ^{I}(A)=0}$ を課してゲージ変換の自由度を固定するとき、ゴースト場のラグランジアンは

で与えられる。ここで ${\displaystyle \delta ^{a}}$ は微小ゲージ変換である。 ゴースト場 ${\displaystyle c^{a}(x)}$ はゲージ群の随伴表現の添え字をもち、ゲージ変換のパラメータを反可換にしたような場である。 反ゴースト場 ${\displaystyle b^{I}(x)}$ は拘束条件と同じ添え字を持ち、ラグランジュの未定乗数を反可換にしたような場である。 ゴースト場はゴースト数 +1 をもち、反ゴースト場はゴースト数 -1 をもつ。

ヤン＝ミルズ理論でのゴースト場 ${\displaystyle c^{a}(x),{\bar {c}}^{a}(x)}$ に対するラグランジアンは

で与えられる。 第一項はスカラー場と類似の運動項であり、第二項はゲージ場との相互作用を表している。g はゲージ場の結合定数、f^abc はゲージ群の構造定数である。

ヤン＝ミルズ理論の場合、反ゴースト場はゴースト場と同じ随伴表現の添え字をもつ。 当初は反ゴースト場はゴースト場の複素共役であると間違って信じられていたが、ゴースト場、反ゴースト場はともに実である^[3]。

量子電磁力学のように可換なゲージ群をもつ理論では、第二項の f^abc がゼロとなるため、ゴースト場はゲージ場と相互作用せず、ゴースト場の存在が理論に影響を及ぼさない。