ホイーラー・ドウィット方程式

この方程式の着想は、量子重力理論を構築するための指針となった。ただし、そのためにはいくつかの重要な問題点を指摘されていた。それは、

• この方程式が時間を変数に含んでいないこと。
• この方程式には数学的な欠陥が認められること。つまり、意味のない無数の解が得られること^[1]。

単純にいえば、WDW方程式は

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =0}$

（ただし ${\displaystyle {\hat {H}}}$ は量子化された一般相対性理論における全ハミルトニアン拘束条件）というものである。

このような波動関数のひとつの例がハートル・ホーキング状態である。

記号 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ および ${\displaystyle |\psi \rangle }$ は見慣れたものに見えるかもしれないが、それらのホイーラー・ドウィット方程式中での意味は非相対論的量子力学からはかなりの隔たりがある。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ はもはや伝統的な意味での空間的な波動関数 (i.e. 3次元の空間的面の上で定義され、規格化された複素関数) ではない。そうでなく、それは時空全体での場の配位についての汎関数である。この波動関数は宇宙の幾何学とそこに含まれる物質についての全情報を含む。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ は、なおも波動関数のヒルベルト空間に作用する演算子であるが、しかしそれは非相対論的な場合のヒルベルト空間と同じではなく、しかもハミルトニアンはもはや系の時間発展を決定しない（よってシュレーディンガー方程式 ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle }$ はもはや適用されない）。