モビリティ・アナロジー

モビリティ・アナロジーは、メカニカル・フィルターの挙動をモデル化するために広く用いられている。これらは電子回路での使用を意図したフィルターであるが、完全に機械的な振動波によって動作する。フィルターの入力と出力にはトランスデューサーが設けられており、電気系と機械系の間の変換を行う^[2]。

この手法の、もう一つの非常に一般的な用途は、スピーカーなどの音響機器の分野である。スピーカーは、電気信号を機械的な動作に変換する変換器と機械的な可動部品で構成されている。音響波そのものは、空気分子やその他の流体媒体の機械的な運動の波である^[3]。

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機械系に対して電気的アナロジーを展開するには、まずそれを抽象的なメカニカル・ネットワークとして記述する必要がある。機械系は複数の理想要素に分解され、各要素は電気的アナログと対応付けられる^[4]。ネットワーク図上でこれらの機械要素に用いられる記号は、後述の各要素個別のセクションで示す。

集中電気要素（英語版）のメカニカル・アナロジーもまた集中定数回路である。すなわち、その要素を有する機械的構成要素は十分に小さく、機械的波（英語版）が構成要素の一端から他端へ伝播するのに要する時間は無視できると仮定される。分布定数回路（例えば伝送線路）に対してもアナロジーを構築できるが、最大の利点は集中定数回路において得られる。メカニカル・アナロジーは、三つの受動電気要素、すなわち抵抗（resistance）、インダクタンス、静電容量に対して必要である。

これらのアナロジーが何を表すかは、電圧を表すためにどの機械的特性が選ばれ、電流を表すためにどの特性が選ばれるかによって決まる^[5]。モビリティ・アナロジーでは、電圧に対応するのは速度であり、電流に対応するのは力である^[6]。機械的インピーダンスは力と速度の比として定義されるため、電気的インピーダンスとは類比的ではない。むしろ、それはインピーダンスの逆数である電気的アドミタンスの類比である。機械的アドミタンスはより一般的にモビリティと呼ばれ^[7]、この比喩の名称の由来となっている^[8]。

電気抵抗のメカニカル・アナロジーは、摩擦などの過程による運動系のエネルギー損失である。抵抗器に類似する機械部品はショックアブソーバーであり、逆抵抗（コンダクタンス）に類似する特性は減衰振動である（逆であるのは、電気インピーダンスが機械的インピーダンスの逆数のアナロジーだからである）。抵抗器はオームの法則の構成方程式によって支配される。

${\displaystyle i=vG}$

力学系における類似の方程式は、

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }}$

ここで、

G = 1/R はコンダクタンス

R はレジスタンス

v は電圧

i は電流

R_m機械的抵抗、または 減衰

F は力

u は力によって誘起される速度^[10]。

電気伝導度は電気的アドミタンスの実部を表す。同様に、機械抵抗は機械的インピーダンスの実部である^[11]。

モビリティ・アナロジーにおけるインダクタンスのメカニカル・アナロジーは力に対する追従性である。力学では力に対する追従性の逆数である剛性について議論することがより一般的である。インダクタに類似した機械的構成要素はばねである。インダクタは次の構成方程式によって支配される。

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

機械系における類似の式は、フックの法則である。

${\displaystyle u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}}$

ここで、 L はインダクタンス

t は時間であり

C_m = 1/S は機械的追従性

S は剛性である^[13]。

インダクタのインピーダンスは純粋に虚数であり、次式で与えられる。

${\displaystyle Z=j\omega L}$

対応する機械的アドミタンスは次式で与えられる。

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }}$

ここで、Z は電気的インピーダンスで

j は虚数単位

ω は角周波数

Y_m は機械的アドミタンスである^[14]。

モビリティ・アナロジーにおける容量のメカニカル・アナロジーは質量である。コンデンサに類似する機械部品は、大型の剛性のある重り、フライホイール、あるいは機械的慣性体である。

コンデンサは構成方程式によって定義される。

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

力学系における類似の式はニュートンの運動の第2法則である。

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

ここで

C はキャパシタンス

M は質量。

コンデンサのインピーダンスは純粋に虚数であり、次のように表される。

${\displaystyle Z={1 \over j\omega C}}$

アナロジーでの機械的アドミタンスは次のように与えられる。

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }={1 \over j\omega M}}$^[16]

.

質量を電気要素のアナロジーとして用いると、奇妙な問題が生じる。これは機械系において、質量の速度（より重要なのは加速度）が常に何らかの固定された基準系、通常は地球に対して測定されるという事実と関連している。 二端子システム要素として見た場合、質量は一方の端子が速度「u」にあり、これは電位と類似している。もう一方の端子は速度ゼロであり、これは接地電位と類似している。したがって、質量は非接地コンデンサのアナロジーとして用いることはできない^[17]。

これにより、2002年にケンブリッジ大学のマルコム・C・スミスは、メカニカル・ネットワーク用の新たなエネルギー貯蔵要素としてイナータンス（inertance）を定義した。イナータンスを持つ構成要素はイナータ（慣性接続要素）と呼ばれる。イナータの両端子は、質量とは異なり、互いに異なる任意の速度と加速度を持つことが許される。イナータの構成方程式は次式で与えられる^[18]。

${\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}-{\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}}$

ここで、

F は両端子に作用する等しく反対の力

B はイナータンス

u₁ および u₂ はそれぞれ端子 1 および 2 における速度

Δu = u₂ − u₁

イナータンス（inertance）は質量と同じ単位（SI単位系ではキログラム）を持ち、その名称は慣性（inertia）との関係を示している。スミスは単なるネットワーク理論上の要素を定義しただけでなく、実際の機械部品の構造を提案し、小型プロトタイプも製作した。スミスのイナータは、シリンダー内を滑り込ませたり引き出したりできるプランジャーで構成される。このプランジャーはラック・アンド・ピニオン機構に接続され、シリンダー内部のフライホイールを駆動する。トルクの発生を防ぐため、逆回転する二つのフライホイールを設けることも可能である。プランジャーを押し込む際に供給されたエネルギーは、プランジャーが逆方向に動く際に返される。したがってこの装置は、質量の塊と同様にエネルギーを散逸させるのではなく蓄積する。ただし、実際のイナータの質量は非常に小さく、理想的なイナータは質量を持たない。イナータ上の2点、すなわちプランジャーとシリンダーケースは、機械系の他の部分に独立して接続でき、いずれも接地されている必要はない^[19]。

スミスのイナータはフォーミュラワンレースに応用され、Jダンパーとして知られる。このコードネームは、他チームの疑念を招かないよう最初に採用したマクラーレンチームが考案したもので、Jは「ジャンプ」と「バウンス」を組み合わせた「跳ね上がり（jounce）」を意味する^[20]。これは既に禁止されていたチューンドマスダンパーの代替として2022年まで使用され^[20] 、車両サスペンションの一部を構成していた。スミス社との共同開発を経て、2005年にマクラーレンが密かに初めて使用した可能性がある。現在では他のチームも使用していると見られている。このイナータはチューンドマスダンパーよりはるかに小型で、タイヤの接地面積負荷変動を平滑化する^[21]。スミスは機械振動低減にもイナータの活用を提案している^[22]。

メカニカル・アナロジーにおける質量の難点は、可動体アナロジーに限定されない。インピーダンスアナロジーにおいても同様の問題が生じるが、その場合はコンデンサではなく、接地されていないインダクタが標準的な要素で表現できない点にある^[23]。

機械的共振器は、質量要素とコンプライアンス要素の両方で構成される。機械的共振器は、インダクタンスとキャパシタンスからなる電気的LC回路に類似している。実際の機械部品は必然的に質量とコンプライアンスの両方を有するため、共振器を単一部品として製造することは現実的な提案である。実際、純粋な質量または純粋なコンプライアンスを単一部品として作製することはより困難である。特定のコンプライアンスを持ち質量を最小化したばねを作製することも、コンプライアンスを最小化した質量を作製することも可能だが、いずれも完全に除去することはできない。機械的共振器はメカニカル・フィルターの主要構成要素である^[24]。

電圧源および電流源（発生器）の能動的電気要素には機械的アナログが存在する。定電流発生器のモビリティ・アナロジーにおける機械的アナログは定力発生器である。定電圧発生器の機械的アナログは定速度発生器である^[27]。

定力発生器の一例として定力ばね constant-force springが挙げられる。実用的な等速発生器の一例としては、モーターのような軽負荷の強力な機械がベルトを駆動するシステムがある。これは、負荷抵抗が電池の内部抵抗よりはるかに大きい場合に、負荷が接続されてもほぼ定電圧を維持する電池などの実電圧源に類似している^[28]>。

電気・機械システム（英語版）は、電気領域と機械領域の間を変換するために変換器を必要とする。これらは二端子対回路に類似しており、同様に連立二次元一次方程式と四つの任意パラメータによって記述できる。数多くの表現が可能であるが、モビリティ・アナロジーに最も適用可能な形式では、任意パラメータはアドミタンス単位で表される。行列形式（電気側をポート1とする）では、この表現は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}}$

要素は短絡機械アドミタンスであり、すなわち電気側に電圧ゼロ（短絡）が印加された際に機械側が示すアドミタンスである。一方、要素は非負荷電気アドミタンスであり、すなわち機械側が負荷を駆動していない（力ゼロ）状態において電気側に示すアドミタンスである。残る二つの要素、およびは、それぞれトランスデューサの順方向および逆方向伝達関数を記述する。これらは両方とも伝達アドミタンスに類似し、電気的量と機械的量のハイブリッド比である^[29]。

変圧器のメカニカル・アナロジーは、滑車やてこといった単純機械である。負荷にかかる力は、機械の機械的利得（英語版）が1より大きいか小さいかによって、入力力より大きくなったり小さくなったりする。 機械的利得は、移動性アナロジーにおける変圧器の巻数比の逆数に類似する。機械的利得が1未満の場合は昇圧変圧器に、1より大きい場合は降圧変圧器にそれぞれ類似する^[30]

モビリティ・アナロジーにおける電力とエネルギーの方程式の類推による対応表

電気量	電気的表現	メカニカル・アナロジー	機械的表現
供給されるエネルギー	${\displaystyle E=\int vi\ dt}$	供給されるエネルギー	${\displaystyle E=\int Fu\ dt}$
供給電力	${\displaystyle P=vi}$	供給力量	${\displaystyle P=Fu}$
抵抗器の電力消費	${\displaystyle P=i^{2}R={v^{2} \over R}}$	ダンパーの力量消費[9]	${\displaystyle P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \over R_{\mathrm {m} }}}$
インダクタの磁場に蓄えられたエネルギー	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}}$	スプリングに蓄えられた位置エネルギー[1]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}}$
コンデンサの電界に蓄えられたエネルギー	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}}$	運動する質量の運動エネルギー[1]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}}$

図は、剛性Sのばねと抵抗R_mのダンパーによって基板上に懸架された質量Mのプラットフォームの機械的配置を示す。この配置の右側には、モビリティ・アナロジーによる等価回路が示されており、並列共振回路で構成される。このシステムは共振周波数を有し、減衰が強すぎない場合、振動の固有振動数 natural frequency を持つ可能性がある^[31]。

モビリティ・アナロジーが代替手法であるインピーダンス・アナロジーに対して持つ主な利点は、機械系のトポロジーを保持する点である。機械系で直列に接続されている要素は電気等価回路でも直列となり、機械系で並列に接続されている要素は電気等価回路でも並列のままである^[32]。

モビリティ・アナロジーの主な欠点は、電気的インピーダンスと機械的インピーダンスの間のアナロジーを維持しない点である。機械的インピーダンスは電気的アドミタンスとして表され、機械的抵抗は電気的等価回路において電気的コンダクタンスとして表される。力は電圧（発電機generator電圧はしばしば起電力と呼ばれる）に類似するのではなく、むしろ電流に類似する^[33]。

歴史的に、インピーダンス・アナロジーはモビリティ・アナロジーよりずっと以前から用いられていた。機械的アドミタンスと関連するモビリティ・アナロジーは、トポロジーの保存という課題を克服するために、フロイド・ファイアストーン（英語版）によって1932年に導入された^[34]。W. ヘーンレ（ W. Hähnle）はドイツで独立して同じ考えに至った。ホレス・M・トレント（英語版）は、数学的なグラフ理論の観点からアナロジー一般の扱い方を発展させ、独自の新たなアナロジーを導入した^[33]。