一様可積分性

次の定義が適用される^[1]。

• 確率変数のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ が一様可積分であるとは、${\displaystyle \epsilon >0}$ が与えられた時、${\displaystyle E(|X|I_{|X|\geq K})\leq \epsilon }$ がすべての ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ に対して成立するような ${\displaystyle K\in [0,\infty )}$ が存在することを言う。ただし ${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$ は指示関数 $${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K\end{cases}}}$$ である。

• 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ が一様可積分であるとは、
  • ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ に含まれるすべての ${\displaystyle X}$ に対して、${\displaystyle \mathrm {E} (|X|)\leqslant K}$ となるような有限の ${\displaystyle K}$ が存在する。
  • すべての ${\displaystyle \epsilon >0}$ に対してある ${\displaystyle \delta >0}$ が存在し、${\displaystyle \mathrm {P} (A)\leqslant \delta }$ となるようなすべての可測な ${\displaystyle A}$ および、すべての ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ に対して、${\displaystyle \mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon }$ が成立する。

の二つが成立することを言う。

次のような結果がある。

• 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:

${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}E(|X|||X|\geq K)=0.}$

• 確率変数 ${\displaystyle X_{n},\ n=1,2,\ldots }$ の列を考える。$${\displaystyle X_{n}(\omega )=n,\ \forall \omega \in \left(0,{\frac {1}{n}}\right),\ X_{n}(\omega )=0{\text{ otherwise}}}$$ と定義する。すべての n に対して ${\displaystyle E(|X_{n}|)=1}$ であるため、明らかに ${\displaystyle X_{n}\in \mathbb {L} ^{1}}$ である。しかし、上の一つ目の定義に従えば $${\displaystyle E(|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ \forall n\geq K}$$ であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。

  

• 上の二つ目の定義によれば、${\displaystyle X_{n}}$ が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし ${\displaystyle X}$ が一様可積分な確率変数であれば、$${\displaystyle E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)}$$ と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は ${\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}$ に含まれることが分かる。また、任意の ${\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}$ 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
• 確率変数 ${\displaystyle X_{n}}$ のどのような列も、ある可積分な非負の ${\displaystyle Y}$ によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、$${\displaystyle \ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty }$$ が成立しているなら、確率変数 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ は一様可積分である。
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ (${\displaystyle p>1}$) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

• ダンフォード（英語版）–ペティス（英語版）の定理^[2]

確率変数 ${\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )}$ のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において相対コンパクト（英語版）であることである。

• ド・ラ・バレ・プーサン（英語版）の定理^[3]

族 ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 ${\displaystyle G(t)}$ で $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty }$$ および ${\displaystyle \sup _{\alpha }E(G(|X_{\alpha }|))<\infty }$ を満たすようなものが存在することである。