ベクトルの共変性と反変性

反変変換

V のベクトル v は基底 f を構成する各 X_i の線形結合として一意に表される。

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}[{\boldsymbol {f}}]X_{i}.}$

(2)

ここで vⁱ [f] は S のスカラーであり、ベクトル v の基底を f にとったときの成分 (components, entries ) と呼ばれる。v の成分を列ベクトル v[f] で表すと次のようになる：

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\begin{bmatrix}v^{1}[{\boldsymbol {f}}]\\v^{2}[{\boldsymbol {f}}]\\\vdots \\v^{n}[{\boldsymbol {f}}]\end{bmatrix}}}$

これにより (2) は行列の積の形に書き直せる。

${\displaystyle v={\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]}$

ベクトル v を f′ を基底として表現すると、次のようになる。

${\displaystyle v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']}$

ただし、ベクトル v そのものは基底の選び方によらず不変であるので、二つの表現は互いに等しい。

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]=v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']}$

このv の不変性と、 (1) の基底 f と f′ の関係を組み合わせて、

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\boldsymbol {f}}A{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}A]}$

ここから次の変換規則を得る。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}A]=A^{-1}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]}$

また、成分表示では次のように書ける。

${\displaystyle v^{i}[{\boldsymbol {f}}']=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[{\boldsymbol {f}}]}$

ここで係数 ãⁱ_j は A の逆行列の i, j 成分である。

ベクトル v の成分は基底を変換する行列 A の逆行列によって変換されるため、ベクトルの成分は基底の変換に対して反変である (transform contravariantly) という。

変換 A によって結び付けられる基底とベクトルの組は、矢印を使った図で次のようにラフに表現される。反対向きの矢印は反変変換を示す：

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]&\longleftarrow &{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']\end{array}}}$

共変変換

ベクトル空間 V 上の線型汎関数 α は基底 f の成分（係数体 S のスカラー）を用いて一意に表すことができる。

${\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[{\boldsymbol {f}}],\quad i=1,2,\dotsc ,n}$

これらの成分は 基底 f の元 X_i 上の α の作用である。

f から f′ への基底変換 (1) の下で、α の成分は次のように変換される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}[{\boldsymbol {f}}']&=\alpha (Y_{i})\\&=\alpha {\biggl (}\sum _{j}{a^{j}}_{i}X_{j}{\biggr )}\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha (X_{j})\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha _{j}[{\boldsymbol {f}}]\end{aligned}}}$

(3)

α の成分は行ベクトル α[f] を用いて次のように書き表せる：

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[{\boldsymbol {f}}]={\bigl [}\alpha _{1}[{\boldsymbol {f}}],\alpha _{2}[{\boldsymbol {f}}],\dotsc ,\alpha _{n}[{\boldsymbol {f}}]{\bigr ]}}$

これより (3) の関係は行列の積として書き直すことができる。

${\displaystyle \alpha [{\boldsymbol {f}}A]=\alpha [{\boldsymbol {f}}]A}$

線型汎関数 α の成分は基底の変換 A に従って変換されるため、α の成分は基底の変換に対して共変である (transform covariantly) という。

変換 A によって結ばれる基底と共変ベクトルの組は矢印を使った図で次のようにラフに表される。共変性は基底の変換と同じ向きの矢印で表現される：

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\\alpha [{\boldsymbol {f}}]&\longrightarrow &\alpha [{\boldsymbol {f}}']\end{array}}}$

行ベクトルの代わりに列ベクトルを用いて表現する場合、変換規則は転置を用いて次のように表される。

${\displaystyle \alpha ^{\top }[{\boldsymbol {f}}A]=A^{\top }\alpha ^{\top }[{\boldsymbol {f}}]}$

ユークリッド平面

ユークリッド平面では、ドット積によってベクトルを余ベクトルと同一視できる。もし ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2}}$ が基底であれば、双対基底 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{1},{\boldsymbol {e}}^{2}}$ は以下を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {e}}^{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=1,&\quad {\boldsymbol {e}}^{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}=0\\{\boldsymbol {e}}^{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=0,&\quad {\boldsymbol {e}}^{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}=1.\end{aligned}}}$

したがって、e¹ と e₂ は互いに直交し、e² と e₁ も直交する。また、e¹ と e² の長さはそれぞれ e₁ と e₂ に対して正規化されている。

3次元ユークリッド空間

3次元ユークリッド空間においては、必ずしも直交せず単位長さでもない基底ベクトル e₁, e₂, e₃ に対して、その双対基底を明示的に決定できる。反変（双対）基底ベクトルは以下のようになる。

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{1}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}{{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3})}};\qquad {\boldsymbol {e}}^{2}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}{{\boldsymbol {e}}_{2}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1})}};\qquad {\boldsymbol {e}}^{3}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}{{\boldsymbol {e}}_{3}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2})}}.}$

ここで × はクロス積を表す。e_i と eⁱ が正規直交でなくとも、これらは互いに双対である。

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=\delta _{j}^{i}.}$

任意のベクトル v の反変成分は、v と反変基底ベクトルのドット積によって得られる。

${\displaystyle q^{1}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{1};\qquad q^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{2};\qquad q^{3}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{3}.\,}$

同様に、v の共変成分は、v と共変基底ベクトルのドット積から得られる。

${\displaystyle q_{1}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1};\qquad q_{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2};\qquad q_{3}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}.\,}$

これより、v は（相互逆な）2通りの方法で表現できる。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=q_{i}{\boldsymbol {e}}^{i}=q_{1}{\boldsymbol {e}}^{1}+q_{2}{\boldsymbol {e}}^{2}+q_{3}{\boldsymbol {e}}^{3}\,}$

あるいは、

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=q^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}=q^{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+q^{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+q^{3}{\boldsymbol {e}}_{3}.\,}$

上記の関係を合わせると、以下のようになる。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}){\boldsymbol {e}}^{i}=({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{i}){\boldsymbol {e}}_{i}\,}$

そして、共変成分と反変成分の間の変換は以下のようになる。

${\displaystyle q_{i}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=(q^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=({\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i})q^{j}\,}$

および、

${\displaystyle q^{i}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{i}=(q_{j}{\boldsymbol {e}}^{j})\cdot {\boldsymbol {e}}^{i}=({\boldsymbol {e}}^{j}\cdot {\boldsymbol {e}}^{i})q_{j}.\,}$

共変座標、共変ベクトル、共変テンソルの添字は下付き文字となる。もし反変基底ベクトルが正規直交ならば、それらは共変基底ベクトルと等価であり、共変座標と反変座標を区別する必要はない。

一般のユークリッド空間

より一般に、n 次元ユークリッド空間 V において、基底が

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}}$

であるとき、逆基底は

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{i}=e^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}}$

で与えられる。ここで係数 e^ij は、

${\displaystyle e_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}}$

の逆行列の成分である。実際、

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{k}=e^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\boldsymbol {e}}_{k}=e^{ij}e_{jk}=\delta _{k}^{i}}$

が成り立つ。任意のベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=q_{i}{\boldsymbol {e}}^{i}=q^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$

の共変成分と反変成分は、上記と同様に以下の関係で結ばれる。

${\displaystyle q_{i}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=(q^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=q^{j}e_{ji}}$

および、

${\displaystyle q^{i}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}^{i}=(q_{j}{\boldsymbol {e}}^{j})\cdot {\boldsymbol {e}}^{i}=q_{j}e^{ji}.\,}$