垂足座標

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Cを直交座標系でf(x, y) = 0と与え、Oを原点とする。点(x, y)の垂足座標は次のように計算できる^[2]。

$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle p={\frac {x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}}}$$

Cの垂足方程式はこれらの式からx, yを消去することによって得られる。

新たな変数zを用いて、曲線を斉次多項式g(x, y, z) = 0で表したとき、pは次のようにより単純な形で書ける^[3]。

$${\displaystyle p={\frac {\frac {\partial g}{\partial z}}{\sqrt {\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial g}{\partial y}}\right)^{2}}}}}$$

z = 1とすればもとの表示を得る。

Cを極方程式r = f(θ)で与えたとき、極接角（英語版）をφとして

$${\displaystyle p=r\sin \phi }$$ $${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \phi }$$

と計算できる。Cの垂足方程式はこれらの式からθを消去することによって得られる^[4]。

contrapedal coordinates への変換はp_c = √r² − p²として、

$${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|={\frac {rp_{c}}{p}}}$$

が成り立つことより行える。これは、自励微分方程式によって極方程式が、

$${\displaystyle f\left(r,\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|\right)=0}$$

と表せるならば、垂足方程式は次の形となることを意味する。

$${\displaystyle f\left(r,{\frac {rp_{c}}{p}}\right)=0}$$

例として対数螺旋を挙げる。

$${\displaystyle r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }}$$

θにおける微分によって次の式を得る。

$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r}$$

したがって、

$${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r}$$

が成立する。よって垂足座標系において

$${\displaystyle {\frac {r}{p}}p_{c}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r\qquad \Rightarrow \qquad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p}$$

を得る。あるいは、p_c = √r² − p²を用いて、

$${\displaystyle p=|\sin \alpha |r}$$

である。この方法は、極方程式におけるn階（n ≥ 1）自励微分方程式の解となる曲線に一般化できる^[5]。極座標系で

$${\displaystyle f\left(r,|r'_{\theta }|,r''_{\theta },|r'''_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)}\right)=0}$$

と表されるn階自励微分方程式の解となる曲線Cは、垂足方程式で

$${\displaystyle f(p,p_{c},p_{c}p_{c}',p_{c}(p_{c}p_{c}')',\dots ,(p_{c}\partial _{p})^{n}p)=0}$$

と表される曲線の垂足曲線である。ただし、微分の変数はpとする。

古典力学における力の問題は、垂足座標系を用いれば簡単に解決することができる。

次の力学系を考える。

$${\displaystyle {\ddot {x}}=F^{\prime }(|x|^{2})x+2G^{\prime }(|x|^{2}){\dot {x}}^{\perp }}$$

平面において、中心力のポテンシャルFとローレンツ力のポテンシャルGのもとで運動する位置と速度がそれぞれx, ·xである試験粒子を述べている。

次の量はこの系において保存されている。

$${\displaystyle L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(|x|^{2}),\qquad c=|{\dot {x}}|^{2}-F(|x|^{2})}$$

このときxの軌跡は、原点を垂足点とする垂足座標系において、次のように与えられる。

$${\displaystyle {\frac {\left(L-G(r^{2})\right)^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c}$$

この形式は2017年にペトル・ブラシュケ (Petr Blaschke) によって発見された^[6]。

ケプラー問題を考える。

$${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x}$$

垂足座標系によって、即座に解にたどり着くことができる。

$${\displaystyle {\frac {L^{2}}{2p^{2}}}={\frac {M}{r}}+c}$$

ここでLは粒子の角運動量、cはエネルギー。また、方程式は垂足座標系において円錐曲線を表すことが分かる。

逆に試験粒子が曲線C上を動くために与える必要のある力を演繹することもできる。

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正弦波螺旋は次の式で書かれる曲線である。

$${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta )}$$

極接角は

$${\displaystyle \psi =n\theta }$$

である。したがって垂足方程式は、

$${\displaystyle pa^{n}=r^{n+1}}$$

となる。いくつかの正弦波曲線の垂足方程式を下の表に示した^[7]。

n	曲線	垂足点	垂足方程式
1	直径aの円	円周上の点	pa = r2
−1	直線	直線からa離れた点	p = a
1⁄2	カージオイド	尖点	p2a = r3
−1⁄2	放物線	焦点	p2 = ar
2	ベルヌーイのレムニスケート	中心	pa2 = r3
−2	直角双曲線	中心	rp = a2

$${\displaystyle r=c\theta ^{\alpha }}$$

の形で与えられる渦巻は次の式を満足する。

$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=\alpha r^{\frac {\alpha -1}{\alpha }}}$$

したがって、その垂足座標系における表示は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}c^{\frac {2}{\alpha }}}{r^{2+{\frac {2}{\alpha }}}}}+{\frac {1}{r^{2}}}}$$

下の表は特別の場合。

α	曲線	垂足点	垂足方程式
1	アルキメデスの螺旋	原点	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{4}}}}$
−1	双曲螺旋	原点	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}$
1⁄2	放物螺旋	原点	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{4}}{4r^{6}}}}$
−1⁄2	リチュース	原点	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {r^{2}}{4c^{4}}}}$

エピサイクロイドまたはハイポサイクロイドは次のパラメトリック方程式で表せる。

$${\displaystyle x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)}$$ $${\displaystyle y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)}$$

原点を垂足点とする垂足方程式は、

$${\displaystyle r^{2}=a^{2}+{\frac {4(a+b)b}{(a+2b)^{2}}}p^{2}}$$

または、

$${\displaystyle p^{2}=A(r^{2}-a^{2})}$$

である^[8]。ただし、

$${\displaystyle A={\frac {(a+2b)^{2}}{4(a+b)b}}}$$

特別の場合を以下の表に示した。b =a/nとする。

n	曲線	垂足方程式
1, −1/2	カージオイド	${\displaystyle p^{2}={\frac {9}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
2, −2/3	ネフロイド（英語版）	${\displaystyle p^{2}={\frac {4}{3}}(r^{2}-a^{2})}$
−3, −3/2	デルトイド	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
−4, −4/3	アステロイド	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{3}}(r^{2}-a^{2})}$

他の有名な曲線においては下の表にまとめる^[9]。

曲線	方程式	垂足点	垂足方程式
直線	${\displaystyle ax+by+c=0}$	原点	${\displaystyle p={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$
点	${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$	原点	${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$
円	${\displaystyle |x-a|=R}$	原点	${\displaystyle 2pR=r^{2}+R^{2}-|a|^{2}}$
伸開線	${\displaystyle r={\frac {a}{\cos \alpha }},\ \theta =\tan \alpha -\alpha }$	原点	${\displaystyle p_{c}=|a|}$
楕円	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	中心	${\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}+b^{2}}$
双曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	中心	${\displaystyle -{\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}-b^{2}}$
楕円	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	焦点	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1}$
双曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	焦点	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}+1}$
対数螺旋	${\displaystyle r=ae^{\theta \cot \alpha }}$	極	${\displaystyle p=r\sin \alpha }$
デカルトの卵形（英語版）	${\displaystyle |x|+\alpha |x-a|=C}$	焦点	${\displaystyle b:=C^{2}-\alpha ^{2}|a|^{2}}$として、 ${\displaystyle {\frac {(b-(1-\alpha ^{2})r^{2})^{2}}{4p^{2}}}={\frac {Cb}{r}}+(1-\alpha ^{2})Cr-((1-\alpha ^{2})C^{2}+b)}$
カッシーニの卵形線	${\displaystyle |x||x-a|=C}$	焦点	${\displaystyle {\frac {(3C^{2}+r^{4}-|a|^{2}r^{2})^{2}}{p^{2}}}=4C^{2}\left({\frac {2C^{2}}{r^{2}}}+2r^{2}-|a|^{2}\right).}$
カッシーニの卵形線	${\displaystyle |x-a||x+a|=C}$	中心	${\displaystyle 2Rpr=r^{4}+R^{2}-|a|^{2}}$