数論トポロジー

次のことは数学者により使われている数体と 3 次元多様体の間のいくつかの類似である。^[1]

1. 数体と向き付け可能な 3 次元閉多様体との対応
2. 整数環のイデアルは、絡み目と対応し、素イデアルは結び目と対応する。
3. 有理数体 Q は 3次元球面と対応する。

後ろ 2つの例を拡張し、素数と素数の間の「絡まり」(link)を考える結び目と素数の間の類似が存在する。素数の三つ組 (13, 61, 937) は modulo 2 で「絡まっている」（レダイの記号（英語版）は −1 である）が、modulo 2 で「どの 2 つも絡まっていない」（ルジャンドル記号はすべて 1 である）。これらの素数は、「固有ボロミアン三つ組み modulo 2」と呼ばれる^[2]、かまたは、「mod 2 ボロミアン素数」と呼ばれる^[3]。

1960年代、類体論はトポロジカルな解釈がジョン・テイト (John Tate) によりガロアコホモロジーに基づいて与えられ^[4]、またミハイル・アルティン(Michael Artin) とジャン・ルイ・ヴェルディエ（英語版） (Jean-Louis Verdier) によってもエタールコホモロジーに基づいて与えられている^[5]。デヴィッド・マンフォード (David Mumford) は（独立にユーリ・マニン (Yuri Manin) によっても）、素イデアルと結び目の類似性が指摘され^[6]、バリー・メイザー (Barry Mazur) によりさらに深く研究された^[7][8]。1990年代、レズニコフ (Reznikov)^[9] とカプラノフ (Kapranov)^[10] は、これらの類似の研究を開始し、この研究分野に数論トポロジーということばをあてはめた。

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