正弦三倍角円

• A₁A₂ : B₁B₂ : C₁C₂ = sin (3A) : sin (3B) : sin (3C) を満たす^[6]。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心は内心（英語版） 、3つの傍心および正弦三倍角円の中心X₄₉を通る双曲線上に存在する^[7]。
• 九点円と正弦三倍角円の相似中心はコスニタ点X₅₄とキーペルト放物線の焦点X₁₁₀である。
• 外接円と正弦三倍角円の相似中心はブロカール円でジェラベク双曲線の中心を反転した点X₁₈₄と、X₁₁₄₇である^[8]。
• それぞれA, B, Cの正弦三倍角円における極線とBC, CA, ABの交点は共線である^[9]。
• 正弦三倍角円の半径は、

${\displaystyle {\frac {R}{|1+8\cos(A)\cos(B)\cos(C)|}},}$

で表される。ここでRは三角形の外接円の半径。

正弦三倍角円の中心は三角形の心として Encyclopedia of Triangle Centers のX₄₉に登録されている^[8][10]。X₄₉の三線座標は次の式で与えられる。

${\displaystyle \cos(3A):\cos(3B):\cos(3C)}$

三角形の外心と垂心をそれぞれO, Hとする。AO, AHでそれぞれH, Oを鏡映した点の中点をM_Aと定める。M_B, M_CをB, Cに対して同様に定義したとき、△ABC, △M_AM_BM_Cは相似でその中心はX₄₉である。

自然数nにおいて、

${\displaystyle {\begin{matrix}\angle A_{1}C_{1}A_{2}=(2n-1)A-(n-1)\pi ,\\\angle B_{1}A_{1}B_{2}=(2n-1)B-(n-1)\pi ,\\\angle C_{1}B_{1}C_{2}=(2n-1)C-(n-1)\pi ,\end{matrix}}}$

を満たすように冒頭と同様に点を配置したときA₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂は共円である。正弦三倍角円はn = 2の場合に該当する^[9]。更に次の式が成立する。

${\displaystyle |A_{1}A_{2}|:|B_{1}B_{2}|:|C_{1}C_{2}|=\sin(2n-1)A:\sin(2n-1)B:\sin(2n-1)C}$

• 六点円
• タッカー円
• 三角形の円錐曲線
• 三倍角