解釈 (論理学)

例

形式言語 ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ は、アルファベット ${\displaystyle \alpha =\{\triangle ,\square \}}$ を用いて定義することができ、ある語が ${\displaystyle \triangle }$ で始まり、かつ記号 ${\displaystyle \triangle }$ と ${\displaystyle \square }$ のみから構成される場合に、その語は ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ に属するものとする。

${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ のありうる解釈の一つとして、${\displaystyle \triangle }$ に10進数字「1」を、${\displaystyle \square }$ に「0」を割り当てるものが考えられる。この場合、${\displaystyle \triangle \square \triangle }$ はこの ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ の解釈のもとで101を表すことになる。

論理定項

命題論理と述語論理という特定の場合において、考察対象となる形式言語のアルファベットは、論理記号（論理定項）と非論理記号という2つの集合に分けられる。この用語法の背後にある考え方は、「論理」記号は研究対象の主題にかかわらず常に同じ意味を持つのに対し、「非論理」記号は研究領域によって意味が変わるというものである。

論理定項は、標準的な種類のあらゆる解釈によって常に同じ意味が与えられ、非論理記号の意味のみが変化する。論理定項には、量化記号 ∀（「すべての」）と ∃（「ある」）、論理結合子を表す記号 ∧（「かつ」）、∨（「または」）、¬（「でない」）、括弧などのグループ化記号、そして（多くの扱いにおいて）等号記号 = が含まれる。

論理結合子

（量化子を除く）言語の論理記号のいくつかは、真理値を引数として取り真理値を返す関数である真理関数的結合子である（言い換えれば、これらは文の真理値に対する演算である）。

真理関数的結合子によって、より単純な文から複合文を組み立てることができる。この方法では、複合文の真理値は、より単純な文の真理値のある特定の真理関数として定義される。結合子は通常論理定項とみなされる。つまり、結合子の意味は常に同じであり、式中の他の記号にどのような解釈が与えられるかとは独立である。

命題論理における論理結合子は次のように定義される。

• ¬Φ が真であるのは、Φ が偽である場合に限る（iff）。
• (Φ ∧ Ψ) が真であるのは、Φ が真かつ Ψ が真である場合に限る。
• (Φ ∨ Ψ) が真であるのは、Φ が真または Ψ が真（あるいは両方とも真）である場合に限る。
• (Φ → Ψ) が真であるのは、¬Φ が真または Ψ が真（あるいは両方とも真）である場合に限る。
• (Φ ↔ Ψ) が真であるのは、(Φ → Ψ) が真かつ (Ψ → Φ) が真である場合に限る。

したがって、文字Φとψすべてに対するある解釈が与えられれば（すなわち各文字に真理値を割り当てた後）、論理結合子の関数として、それらを構成要素とするすべての式の真理値を決定することができる。以下の表はこの種のことがどのように見えるかを示している。最初の2列は、4通りの可能な解釈によって決定される文字の真理値を示す。他の列は、これらの文字から作られる式の真理値を示しており、真理値は再帰的に決定される。

これで、ある式が論理的に妥当であるとは何を意味するのかがわかりやすくなる。式 F：(Φ ∨ ¬Φ) を考える。ある解釈関数がΦを真にすると、¬Φは否定結合子によって偽になる。この解釈のもとで F の選言肢Φが真であるため、F は真である。もう一方の可能な解釈はΦを偽にし、その場合¬Φは否定関数によって真になる。すると F の選言肢の一つである¬Φがこの解釈のもとで真になるため、F は再び真になる。F に対するこれら2つの解釈が唯一可能な論理的解釈であり、両方について F が真になるので、F は論理的に妥当（トートロジー）であるという。

一階述語論理のための形式言語

シグネチャ（英語版）σが与えられると、対応する形式言語はσ式の集合として知られる。各σ式は、論理結合子によって原子式から組み立てられる。原子式は、述語記号を用いて項から組み立てられる。σ式の集合の形式的な定義は逆方向に進む。まず、定数記号と関数記号、および変数から項が組み立てられる。次に、項はシグネチャからの述語記号（関係記号）、あるいは等号のための特別な述語記号「=」（下記の「等号の解釈」の節を参照）を用いて原子式に結合される。最後に、原子式から論理結合子と量化子を用いて言語の式が組み立てられる。

一階言語の解釈

一階言語のすべての文に意味を与えるには、次の情報が必要である。

• 議論領域^{[注釈 1]} D。通常は空でないことが要求される（下記参照）。
• すべての定数記号に対して、その解釈としての D の要素。
• すべてのn項関数記号に対して、その解釈としての D から D へのn項関数（すなわち関数 Dⁿ → D）。
• すべてのn項述語記号に対して、その解釈としての D 上のn項関係（すなわち Dⁿ の部分集合）。

これらの情報を担う対象は、（シグネチャσの）構造、σ構造、（言語Lの）L構造、あるいは「モデル」として知られる。

解釈で指定された情報は、任意の自由変数（もしあれば）が領域の要素で置き換えられた後、任意の原子式に真理値を与えるのに十分な情報を提供する。任意の文の真理値は、その後、アルフレト・タルスキによって展開された一階意味論の定義であるT図式を用いて帰納的に定義される。T図式は、上で述べたように真理表を用いて論理結合子を解釈する。したがって、例えばφ ∧ ψは、φとψの両方が充足される場合に限り充足される。

これにより、∀ x φ(x) や ∃ x φ(x) という形式の式をどう解釈するかという問題が残る。議論領域はこれらの量化子の範囲を形成する。考え方としては、文∀ x φ(x)がある解釈のもとで真であるのは、x が領域のある要素で置き換えられたφ(x)のあらゆる代入インスタンスが充足される場合に限る、というものである。式∃ x φ(x)は、φ(d)が充足されるような領域の要素 d が少なくとも一つ存在すれば充足される。

厳密に言えば、上で述べた式φ(d)のような代入インスタンスは、φのもとの形式言語における式ではない。なぜなら d は領域の要素だからである。この技術的な問題を扱う方法は2通りある。第一は、領域の各要素が定数記号によって名付けられるより大きな言語に移行する方法である。第二は、解釈に、各変数を領域の要素に割り当てる関数を追加する方法である。この場合T図式は、代入インスタンスにわたって量化する代わりに、この変数割り当て関数が変化するもとの解釈のバリエーションにわたって量化することができる。

一部の著者は一階述語論理における命題変数も認めており、その場合それも解釈されなければならない。命題変数はそれ自体で原子式として単独で成り立つことができる。命題変数の解釈は「真」と「偽」の2つの真理値のうちの一つである^[3]。

ここで述べた一階解釈は集合論の中で定義されているため、各述語記号を性質^{[注釈 2]}（あるいは関係）に対応させるのではなく、その性質（あるいは関係）の外延に対応させる。言い換えれば、これらの一階解釈は外延的^{[注釈 3]}であり内包的ではない。

一階解釈の例

上で述べた言語 L の解釈 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ の例は以下の通りである。

• 領域：チェスの駒の集合
• 個体定数：a：白のキング、b：黒のクイーン、c：白のキングのポーン
• F(x)：xは駒である
• G(x)：xはポーンである
• H(x)：xは黒である
• I(x)：xは白である
• J(x, y)：xはyを取ることができる

Lの解釈 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ において、

• 次は真の文である：F(a)、G(c)、H(b)、I(a)、J(b, c)、
• 次は偽の文である：J(a, c)、G(a)。

空でない領域の要件

上述のように、一階解釈は通常、議論領域として空でない集合を指定することが要求される。この要件の理由は、 $${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),}$$ （x がφの自由変数でない場合）のような等価性が論理的に妥当であることを保証するためである。この等価性は空でない領域を持つあらゆる解釈において成り立つが、空の領域が許される場合には常に成り立つとは限らない。例えば、等価性 $${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$$ は、空の領域を持つ任意の構造において成立しない。したがって、空の構造が許される場合、一階述語論理の証明論はより複雑になる。しかし、それらを許すことによる利得はごくわずかである。なぜなら、意図された解釈も、人々が研究している理論の興味深い解釈も、いずれも空でない領域を持つからである^[4][5]。

空の関係は一階解釈に何ら問題を引き起こさない。なぜなら、関係記号を論理結合子の向こう側へ渡してその作用域を拡大するという類似の概念が存在しないからである。したがって、関係記号が恒偽であると解釈されることは許容される。しかし、関数記号の解釈は常に、well-definedな全域関数をその記号に割り当てなければならない。

等号の解釈

等号関係は、一階述語論理やその他の述語論理においてしばしば特別な扱いを受ける。これには2つの一般的な取り扱い方がある。

第一の方法は、等号を他の二項関係と何ら変わらないものとして扱うことである。この場合、等号記号がシグネチャに含まれるならば、通常、等号に関する様々な公理を公理系に追加する必要がある（例えば、a = b かつ R(a) が成り立つならば R(b) も成り立つ、という代入公理）。この等号への取り扱い方は、等号関係を含まないシグネチャ、例えば集合論のシグネチャや、数についての等号関係のみを持ち集合についての等号関係を持たない二階算術のシグネチャを研究する際に最も有用である。

第二の方法は、等号関係記号を、あらゆる解釈において実際の等号関係によって解釈されなければならない論理定項として扱うことである。等号をこのように解釈する解釈は「正規モデル」として知られており、この第二の方法は、たまたま正規モデルであるような解釈のみを研究することと同じである。この方法の利点は、等号に関する公理があらゆる正規モデルによって自動的に満たされるため、等号をこのように扱う場合には一階理論に明示的に含める必要がないことである。この第二の方法は「等号付き一階述語論理」と呼ばれることもあるが、多くの著者は特に断りなく一階述語論理の一般的な研究にこれを採用している。

正規モデルに一階述語論理の研究を限定する理由は他にもいくつかある。第一に、等号が同値関係によって解釈され、かつ等号に関する代入公理を満たすあらゆる一階解釈は、もとの領域の部分集合上の初等同値な解釈へと縮小できることが知られている。したがって、非正規モデルを研究することにさほど多くの一般性はない。第二に、非正規モデルを考慮する場合、あらゆる無矛盾な理論が無限モデルを持つことになる。これは、通常は正規モデルのみが考慮されるという仮定のもとで述べられるレーヴェンハイム–スコーレムの定理のような結果の言明に影響を与える。

多ソート一階述語論理

一階述語論理の一般化として、複数の「ソート」の変数を持つ言語を考える。この考え方は、異なるソートの変数が異なる型の対象を表すというものである。すべてのソートの変数を量化することができる。したがって、多ソート言語に対する解釈は、変数のソートごとに異なる領域を持つ（各異なるソートの変数の無限の集まりが存在する）。関数記号と関係記号は、アリティに加えて、それぞれの引数が特定のソートから取られなければならないよう指定される。

多ソート論理の一例は、平面ユークリッド幾何学^[要説明]のためのものである。ここには点と直線という2つのソートがある。点に対する等号関係記号、直線に対する等号関係記号、そして1つの点変数と1つの直線変数を取る二項接続関係 E が存在する。この言語の意図された解釈では、点変数はユークリッド平面上のすべての点にわたり、直線変数は平面上のすべての直線にわたり、接続関係 E(p,l) は点 p が直線 l 上にあるとき、かつその場合に限り成り立つ。

例

3つの記号 ${\displaystyle \{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}}$ のみからなるアルファベットαを持ち、式の形成規則が次のような単純な形式体系（これを ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ と呼ぶ）を考える。

「${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ の記号列のうち、少なくとも6記号の長さを持ち、かつ無限に長くないものは、${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ の式である。それ以外のものは ${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ の式ではない。」

${\displaystyle {\mathcal {FS'}}}$ の唯一の公理図式は次の通りである。

「${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast }$」（ここで「${\displaystyle \ast }$」は「${\displaystyle \blacksquare }$」の有限記号列を表すメタ構文変数である）

形式証明は次のように構成できる。

1. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare }$
2. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$
3. ${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$

この例では、生成された定理「${\displaystyle \blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare }$」は「1足す3は4に等しい」と解釈することができる。別の解釈としては、これを逆に読んで「4引く3は1に等しい」とすることもできる^{[出典無効]}。