Tetraedro

Un tetraedro (del griego τέτταρες 'cuatro' y ἕδρα 'asiento, base de apoyo o cara') o pirámide triangular es un poliedro con cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Las caras de un tetraedro son triángulos y en cada vértice concurren tres caras; si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. Además es un sólido platónico. Expresado de otra manera, un tetraedro es una pirámide con base triangular.^[1]

El tetraedro es el más simple de todos los poliedros convexos ordinarios y el único que tiene menos de cinco caras.^[2] Es el caso tridimensional del concepto más general de símplex correspondiente a la geometría euclídea, y por lo tanto también puede denominarse 3-símplex.

Como todos los poliedros, un tetraedro se puede plegar a partir de una sola hoja de papel. Tiene dos desarrollos de este tipo.^[3]

Para cualquier tetraedro existe una esfera (llamada esfera circunscrita) sobre la cual se encuentran sus cuatro vértices, y otra esfera (la esfera inscrita) tangente a las caras del tetraedro.^[4]

Tetraedro regular

Artículo principal: Tetraedro regular

Un tetraedro regular y su desarrollo

Un tetraedro regular es aquel cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. En otras palabras, todas sus caras tienen el mismo tamaño y forma (son congruentes) y todas sus aristas tienen la misma longitud. El tetraedro regular es el deltaedro más simple, un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros; existen otros siete deltaedros convexos.^[5]

Tetraedros irregulares

Si los tres pares de aristas opuestas de un tetraedro son perpendicularidad, se denomina tetraedro ortocéntrico. Cuando solo un par de aristas opuestas son perpendiculares, se denomina tetraedro semiortocéntrico.

En un tetraedro trirrectangular, los tres ángulos de las caras en un vértice son ángulo recto, como en la esquina de un cubo.

Un tetraedro isodinámico es aquel en el que los triángulos ceviana que unen los vértices a los triángulos incenters de las caras opuestas son triángulos concurrent.

Un tetraedro isogónico tiene triángulos cevianos concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con los triángulos esfera inscrita del tetraedro.

Disfenoides

Artículo principal: Disfenoide

Un disfenoide es un tetraedro con cuatro triángulos congruentes como caras; los triángulos necesariamente tienen todos los ángulos agudos. El tetraedro regular es un caso especial de disfenoides. Otros nombres para la misma figura incluyen bisfenoides, tetraedro isósceles y tetraedro equifacial.

Ortoesquemas

Un 3-ortoesquema es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos rectágulos. Un 3-ortoesquema no es un disfenoide, ya que sus aristas opuestas no tienen la misma longitud. No es posible construir un disfenoide con alguna cara que sea un triángulo rectángulo o un triángulo obtusángulo.

Un ortoesquema es un símplex irregular que es la envolvente convexa de un árbol en el que todas las aristas son mutuamente perpendiculares. En un ortoesquema tridimensional, el árbol consta de tres aristas perpendiculares que conectan los cuatro vértices en una trayectoria lineal que realiza dos giros en ángulo recto. El 3-ortoesquema es un tetraedro con dos ángulos rectos en dos de sus vértices, por lo que también se le conoce como tetraedro birrectangular. Asimismo, se le denomina tetraedro cuadrirrectangular, ya que contiene cuatro ángulos rectos.^[6]

Coxeter también denomina a los tetraedros cuadrirrectangulares tetraedros característicos, debido a su relación integral con los politopos regulares y sus grupos de simetría.^[7] Por ejemplo, el caso especial de un 3-ortoesquema con aristas perpendiculares de igual longitud es característica del cubo, lo que significa que el cubo puede subdividirse en instancias de este ortoesquema. Si sus tres aristas perpendiculares tienen longitud unitaria, las aristas restantes son dos de longitud √2 y una de longitud √3, por lo que todas sus aristas son aristas o diagonales del cubo. El cubo puede dividirse en seis ortoesquemas de 3 dimensiones de cuatro maneras diferentes, rodeando los seis la misma diagonal del cubo de longitud √3. El cubo también puede dividirse en 48 instancias más pequeñas de este mismo ortoesquema característico de 3 dimensiones (de una sola manera, considerando todos sus planos de simetría simultáneamente). El tetraedro característico del cubo es un ejemplo de tetraedro heroniano.

Todo politopo regular, incluido el tetraedro regular, posee su propio ortoesquema característico. Existe un ortoesquema de 3 dimensiones, que corresponde al tetraedro característico del tetraedro regular. El tetraedro regular se subdivide en 24 instancias de su tetraedro característico mediante sus planos de simetría. Los 24 tetraedros característicos del tetraedro regular se presentan en dos formas simétricas, 12 de cada una.

Más información

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...

Características del tetraedro regular^[8]
	Arista	Arco		Diedro
𝒍	$2$	109°28′16″	$\pi -2\kappa$	70°31′44″	$\pi -2\psi$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	70°31′44″	$2\kappa$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉^[9]	$1$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-\kappa$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-\kappa$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225$
$_{1}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$

$\kappa$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}$

Cerrar

Si el tetraedro regular tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas de su tetraedro característico tienen longitudes ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ alrededor de su cara exterior triangular-rectangular (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[9] más ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ (aristas que son los radios característicos del tetraedro regular). El camino de 3 aristas en las aristas ortogonales del ortoesquema es $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , primero desde un vértice del tetraedro hasta el centro de una arista del tetraedro, luego girando 90° hasta el centro de una cara del tetraedro, y luego girando 90° hasta el centro del tetraedro. El ortoesquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos disímiles. La cara exterior es un triángulo 60-90-30 que es un sexto de una cara del tetraedro. Las tres caras interiores al tetraedro son: un triángulo rectángulo con aristas $1$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , un triángulo rectángulo con aristas ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , y un triángulo rectángulo con aristas ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ .

Tetraedros que llenan el espacio

Un tetraedro que llena el espacio se empaqueta con copias directamente congruentes o enantiomorfas (imágenes especulares) de sí mismo para cubrir el espacio.^[10] El cubo se puede diseccionar en seis ortoesquemas de dimensión 3, tres levógirOs y tres dextrógirOs (uno de cada tipo en cada cara del cubo), y los cubos pueden llenar el espacio, por lo que el ortoesquema característico de dimensión 3 del cubo es un tetraedro que llena el espacio en este sentido. El ortoesquema característico del cubo es uno de los tetraedros de Hill, una familia de tetraedros que llenan el espacio. Todos los tetraedros que llenan el espacio son congruentes por tijera con un cubo).

Un disfenoide puede ser un tetraedro que llena el espacio en el sentido de congruencia directa, como en el panal tetraédrico disfenoidal. Los tetraedros regulares, sin embargo, no pueden llenar el espacio por sí solos (además, no son congruentes por tijera con ningún otro poliedro que pueda llenar el espacio; véase el Tercer problema de Hilbert). El panal tetraédrico-octaédrico llena el espacio con celdas de tetraedros regulares alternadas y celdas de octaedros regulares en una proporción de 2:1.

Dominios fundamentales

Un tetraedro irregular, que es el dominio fundamental^[11] de un grupo de simetría, es un ejemplo de un tetraedro de Goursat, que generan todos los poliedros regulares (y muchos otros poliedros uniformes) mediante reflexiones especulares, un proceso conocido como construcción caleidoscópica de Wythoff.

Para los poliedros, la construcción de Wythoff dispone tres espejos que forman ángulos entre sí, como en un caleidoscopio. A diferencia de un caleidoscopio cilíndrico, los espejos de Wythoff se ubican en tres caras de un tetraedro de Goursat, de modo que los tres se intersecan en un único punto. El diagrama diagrama de Coxeter-Dynkin del poliedro generado contiene tres nodos que representan los tres espejos. El ángulo diedro entre cada par de espejos está codificado en el diagrama, así como la ubicación de un único punto generador, que se multiplica por las reflexiones de los espejos en los vértices del poliedro.

Entre los tetraedros de Goursat que generan panales tridimensionales, se puede reconocer un ortoesquema (el tetraedro característico del cubo), un ortoesquema doble (el tetraedro característico del cubo unido por una cara a su imagen especular) y el disfenoide que llena el espacio, ilustrado arriba.^[12] El disfenoide es el ortoesquema doble unido por una cara a su imagen especular (un ortoesquema cuádruple). Por lo tanto, estos tres tetraedros de Goursat, y todos los poliedros que generan por reflexión, pueden ser diseccionados empleando los tetraedros característicos del cubo.

Subdivisión y clases de similitud

La subdivisión de tetraedros es un proceso utilizado en geometría computacional y modelado 3D para dividir un tetraedro en varios tetraedros más pequeños. Este proceso aumenta la complejidad y el detalle de las mallas tetraédricas, lo que resulta particularmente beneficioso en simulaciones numéricas, análisis de elementos finitos y gráficos por computadora. Uno de los métodos de subdivisión más comunes es la Bisección de Arista Más Larga (LEB), que identifica la arista más larga del tetraedro y la biseca en su punto medio, generando dos nuevos tetraedros más pequeños. Cuando este proceso se repite varias veces, dividiendo por la mitad todos los tetraedros generados en cada iteración anterior, se denomina LEB iterativo.

Una clase de similitud es el conjunto de tetraedros con la misma forma geométrica, independientemente de su posición, orientación y escala específicas. Por lo tanto, dos tetraedros cualesquiera que pertenezcan a la misma clase de similitud pueden transformarse entre sí mediante una transformación afín. El hecho de tener un número limitado de clases de similitud en los métodos de subdivisión iterativos es significativo para el modelado y la simulación computacional. Reduce la variabilidad en las formas y tamaños de los tetraedros generados, evitando la formación de elementos altamente irregulares que podrían comprometer los resultados de la simulación.

Se ha demostrado que el LEB iterativo del tetraedro regular produce solo 8 clases de similitud. Además, en el caso de tetraedros casi equiláteros donde sus dos aristas más largas no están conectadas entre sí, y la relación entre su arista más larga y su arista más corta es menor o igual a ${\sqrt {3/2}}$ , el LEB iterado produce no más de 37 clases de similitud.^[13]

Propiedades geométricas

En todo tetraedro se verifican las siguientes propiedades:

Los segmentos que unen los puntos medios de las aristas opuestas (bimedianas) son concurrentes en un punto; este es el punto medio de dichos segmentos.
Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (según el teorema de Commandino).
Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante (incentro) de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.
El plano que pasa por una arista y por el punto medio de la arista opuesta biseca el tetraedro regular en dos figuras congruentes. El volumen de cada parte es la mitad del volumen de la figura original.^[14]
El tetraedro tiene característica de Euler 2.^[15]
Las bimedianas se cortan en un punto interior llamado centro de masas, y se bisecan mutuamente.

Propiedades métricas

Véase también: Apotema

Volumen

$alt=Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro: A = b ⋅ h 2 {displaystyle A={ frac {bcdot h}{2}}}$

Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro:

A={\tfrac {b\cdot h}{2}}

El volumen de un tetraedro es

V =

{\frac {1}{3}}\times B\times h

, siendo B el área de una cara y h la altura del tetraedro, o sea el segmento perpendicular al plano de la base desde el vértice opuesto.

El volumen de un tetraedro de altura $h$ y base regular de lado $L$ es^[16]

V=h\cdot L^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{12}}

Recurso de geometría analítica del espacio

Existe una fórmula general para calcular del volumen de un tetraedro OABC, donde O coincide con el origen de coordenadas, sea o no regular, en función de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus vértices, A, B, C:

$V={\frac {1}{6}}\,{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\end{vmatrix}}$

Esta fórmula también se puede escribir en términos de las coordenadas cartesianas de los cuatro vértices $\scriptstyle \{(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2}),\ (x_{2},y_{2},z_{3})\ (x_{4},y_{4},z_{4})\}$ ; el volumen de un tetraedro (regular o no) viene dado por la siguiente fórmula:

$V={\frac {1}{3!}}\,{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}$

Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas $\ l_{1}$ y $\ l_{2}$ , la distancia $\ h$ y el ángulo $\theta$ entre ellas:

$V={\frac {1}{6}}\cdot l_{1}\cdot l_{2}\cdot h\cdot \sin \theta$

Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su coronación $\ l_{1}$ , la longitud en la base $\ l_{2}$ y su altura $\ h$ .

La generalización de la fórmula de Herón permite calcular el volumen de un tetraedro a partir de la medida de sus aristas a, b, c, ab, ac y bc:

$V={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}u\cdot u&u\cdot v&u\cdot w\\v\cdot u&v\cdot v&v\cdot w\\w\cdot u&w\cdot v&w\cdot w\end{vmatrix}}}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}a^{2}&{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&b^{2}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}&c^{2}\end{vmatrix}}}}$

u, v y w son los vectores determinados por las aristas a, b y c. Se tiene en cuenta la fórmula $(u-v)\cdot (u-v)=u\cdot u+v\cdot v-2u\cdot v$ .

Alturas

Un tetraedro (no necesariamente regular) se define en ℝ³ conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo $\scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3}),V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ . Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano (plano por tres puntos) base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que llamaremos $\scriptstyle V_{2},V_{3}$ y $\scriptstyle V_{4}$ y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos $\scriptstyle V_{1}$ .

Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vértice opuesto en $\scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ y después poner los valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo en $\scriptstyle V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ y $\scriptstyle V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ , luego aplicarlos en la fórmula siguiente:

${\text{Altura}}=\left|{\frac {x_{1}(y_{2}(z_{3}-z_{4})+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3}))+{y_{1}}(x_{2}(z_{4}-z_{3})+x_{3}(z_{2}-z_{4})+x_{4}(z_{3}-z_{2}))+{z_{1}}(x_{2}(y_{3}-y_{4})+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3}))-x_{2}y_{3}z_{4}+x_{2}y_{4}z_{3}+x_{3}y_{2}z_{4}-x_{3}y_{4}z_{2}-x_{4}y_{2}z_{3}+x_{4}y_{3}z_{2}}{\sqrt {(-x_{2}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{3}y_{2}-x_{3}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{4}y_{3})^{2}+(-x_{2}z_{3}+x_{2}z_{4}+x_{3}z_{2}-x_{3}z_{4}-x_{4}z_{2}+x_{4}z_{3})^{2}+(-y_{2}z_{3}+y_{2}z_{4}+y_{3}z_{2}-y_{3}z_{4}-y_{4}z_{2}+y_{4}z_{3})^{2}}}}\right|.$

Para conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus vértices. Esta fórmula no requiere que el tetraedro sea regular, vale para cualquier tetraedro no degerado.

Propiedades generales

En general, un tetraedro es un objeto tridimensional con cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Se puede considerar como una pirámide siempre que una de sus caras pueda considerarse como base. Su 1-esqueleto puede verse generalmente como un grafo mediante el teorema de Steinitz, conocido como grafo tetraédrico, uno de los grafos poliédricos. Es un grafo completo $K_{4}$ porque cada par de sus vértices tiene una arista única. En un plano, este grafo puede considerarse como un triángulo en el que tres vértices se conectan a su cuarto vértice situado en el centro, conocido como vértice universal. Por lo tanto, el grafo tetraédrico es un grafo rueda.^[17]

El tetraedro es uno de los poliedros que no posee diagonales espaciales. Los otros poliedros con dicha propiedad son el poliedro de Császár y poliedro de Schönhardt.^[18] También se conoce como 3-simplex, la generalización de un triángulo en múltiples dimensiones. Es autodual, lo que significa que su poliedro conjugado es el propio tetraedro.^[19] Muchas otras propiedades de los tetraedros se describen explícitamente en las siguientes secciones.

Volumen

El volumen de un tetraedro se calcula mediante la fórmula:

V={\frac {1}{3}}Ah.

donde $A$ es el área de su base y $h$ es la altura desde la base hasta el vértice. Esto se aplica a cada una de las cuatro opciones de base, por lo que las distancias desde los vértices a las caras opuestas son inversamente proporcionales a las áreas de estas caras. Otra forma de demostrar esta fórmula es dividiendo un prisma triangular en tres piezas de igual volumen.^[20]

Enfoque algebraico

El enfoque algebraico es una alternativa para los vértices dados en términos de vectores de la manera siguiente:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}

En términos de un determinante, el volumen de un tetraedro es ${\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}$ , un sexto del volumen de cualquier paralelepípedo que comparta con el tetraedro tres aristas convergentes entre sí.^[21]

De manera similar, para los vértices dados, otro enfoque es mediante el valor absoluto del producto triple escalar, que representa los valores absolutos de los determinantes $6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}$ . Por lo tanto:

36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}.

Aquí, $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }$ , $\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha }$ y $\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.$ representan las variables $a$ , $b$ y $c$ de las normas (también denominadas módulos o longitudes) de los vectores, $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$ , respectivamente. Esto da como resultado:

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,

donde las letras minúsculas griegas representan los ángulos entre los tres planos que convergen en el vértice $\mathbf {d}$ : el ángulo $\alpha$ es el ángulo entre las dos aristas que conectan el vértice $\mathbf {d}$ con los vértices $\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$ ; el ángulo $\beta$ hace lo mismo con los vértices $\mathbf {a}$ y $\mathbf {c}$ . Mientras que el ángulo $\gamma$ se define por la posición de los vértices $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ . Considerando que $\mathbf {d} =0$ , entonces:

6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.

Dadas las distancias entre los vértices de un tetraedro, el volumen se puede calcular usando el determinante de Cayley-Menger:

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}

donde los subíndices $i,j\in \{1,2,3,4\}$ representan los vértices $\{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \}$ , y $d_{ij}$ es la distancia entre pares de vértices, es decir, la longitud de la arista que los conecta. Un valor negativo del determinante significa que no se puede construir un tetraedro con las distancias dadas. Esta expresión, a veces llamada fórmula de Tartaglia, se debe esencialmente al pintor Piero della Francesca del siglo XV, como un análogo tridimensional de la fórmula de Herón del siglo I para el área de un triángulo.

Otros enfoques

Sean $a$ , $b$ y $c$ las longitudes de tres aristas que se encuentran en un punto, y $x$ , $y$ y $z$ las de las aristas opuestas. El volumen del tetraedro $V$ es:^[22]

V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}

donde: ${\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}$

La fórmula anterior utiliza seis longitudes de aristas, y la siguiente fórmula utiliza tres longitudes de aristas y tres ángulos.^[22]

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}

El volumen de un tetraedro se puede determinar mediante la fórmula de Herón. Supóngase que $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ y $w$ son las longitudes de las aristas del tetraedro, como se muestra en la siguiente imagen. Aquí, las tres primeras forman un triángulo, con $u$ opuesto a $U$ , $v$ opuesto a $V$ y $w$ opuesto a $W$ . Entonces,

V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}

donde:

{\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}

y

{\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Cualquier plano que contenga una bimediana (el segmento que conecta los puntos medios de dos aristas opuestas) de un tetraedro, biseca (divide en dos mitades iguales) el volumen del tetraedro.^[23]

Para tetraedros en el espacio hiperbólico o en la geometría elíptica tridimensional, los ángulos diedros del tetraedro determinan su forma y, por lo tanto, su volumen. En estos casos, el volumen viene dado por la fórmula de Murakami-Yano, deducida por Jun Murakami y Masakazu Yano.^[24] Sin embargo, en el espacio euclídeo, escalar un tetraedro cambia su volumen, pero no sus ángulos diedros, por lo que no puede existir tal fórmula.

Dos aristas opuestas cualesquiera de un tetraedro se encuentran sobre dos rectas que se cruzan, y la distancia entre las aristas se define como la distancia entre las dos rectas que se cruzan en el espacio. Sea $d$ la distancia entre las líneas oblicuas formadas por las aristas opuestas $a$ y $\mathbf {b} -\mathbf {c}$ (calculada tal como se detalla en el artículo rectas que se cruzan). Entonces, otra fórmula para el volumen de un tetraedro $V$ viene dada por:

V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.

Analogías con un triángulo

El tetraedro posee muchas propiedades análogas a las de un triángulo, incluyendo una insfera, una circunsfera, un tetraedro medial y exosferas. Tiene centros respectivos como el incentro, el circuncentro, los excentros,el centro de Spieker y otros puntos como el centroide. Sin embargo, generalmente no existe un ortocentro en el sentido de la intersección de sus alturas.^[25]

Gaspard Monge encontró un centro que existe en cada tetraedro, ahora conocido como el punto de Monge: el punto donde se intersecan los seis planos medios de un tetraedro. Un plano medio se define como un plano ortogonal a una arista que une dos vértices cualesquiera y que también contiene el centroide de una arista opuesta formada al unir los otros dos vértices.^[26] Una línea ortogonal trazada desde el punto de Monge a cualquier cara interseca dicha cara en el punto medio del segmento de línea entre el ortocentro de esa cara y el pie de la altura trazada desde el vértice opuesto. Si las alturas del tetraedro se intersecan, entonces el punto de Monge y el ortocentro coinciden, dando lugar a la clase de los tetraedros ortocéntricos.

Un segmento que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana, y un segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana del tetraedro. Por lo tanto, un tetraedro tiene cuatro medianas y tres bimedianas. Estos siete segmentos de línea son todos concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro.^[27] Además, según el teorema de Commandino, las cuatro medianas quedan divididas en una proporción de 3:1 por la posición del centroide.^[28] El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto de Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la línea de Euler del tetraedro, que es análoga a la recta de Euler de un triángulo.

La circunferencia de los nueve puntos del triángulo general tiene un análogo en la esfera circunscrita del tetraedro medio de un tetraedro. Se trata de la esfera de los doce puntos y, además de los centroides de las cuatro caras del tetraedro de referencia, pasa por cuatro puntos de Euler sustitutos, situados a un tercio de la distancia desde el punto de Monge hacia cada uno de los cuatro vértices. Finalmente, pasa por los cuatro puntos base de las líneas ortogonales trazadas desde cada punto de Euler hasta la cara que no contiene el vértice que generó dicho punto.^[29]

El centro $T$ de la esfera de los doce puntos también se encuentra sobre la recta de Euler. A diferencia de su análogo triangular, este centro se sitúa a un tercio de la distancia desde el punto de Monge $M$ hacia el circuncentro. Además, una línea ortogonal que pasa por $T$ hasta una cara determinada es coplanar con otras dos rectas ortogonales hasta la misma cara. La primera es una recta ortogonal que pasa por el punto de Euler correspondiente a la cara elegida. La segunda es una recta ortogonal que pasa por el centroide de la cara elegida. Esta recta ortogonal que pasa por el centro de la esfera de los doce puntos se encuentra a medio camino entre la recta ortogonal del punto de Euler y la recta ortogonal del centroide. Además, para cualquier cara, el centro de la esfera de los de doce puntos se encuentra en el punto medio entre el punto de Euler correspondiente y el ortocentro de esa cara.

El radio de la esfera de los doce puntos es un tercio del radio de la circunferencia circunscrita del tetraedro de referencia.

Existe una relación entre los ángulos formados por las caras de un tetraedro general dada por:^[30]

{\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,

donde $\alpha _{ij}$ es el ángulo entre las caras $i$ y $j$ .

La mediana geométrica de las coordenadas de las posiciones de los vértices de un tetraedro y su centro isogónico están asociados, en circunstancias análogas a las que se dan en un triángulo. Lorenz Lindelöf descubrió que, correspondiente a cualquier tetraedro dado, hay un punto ahora conocido como centro isogónico, $O$ , en el que los ángulos sólidos subtendidos por las caras son iguales, teniendo un valor común de $\pi$ sr (estereorradianes), y en el cual los ángulos subtendidos por aristas opuestas son iguales.^[31] Un ángulo sólido de $\pi$ sr es un cuarto del subtendido por todo el espacio. Cuando todos los ángulos sólidos en los vértices de un tetraedro son menores que $\pi$ sr, $O$ el punto en cuestión se encuentra dentro del tetraedro. Debido a que la suma de las distancias de $O$ a los vértices es mínima, $O$ coincide con la mediana geométrica $M$ de los vértices. Si el ángulo sólido en uno de los vértices $v$ mide exactamente $\pi$ sr, entonces $O$ y $M$ coinciden con $v$ . Sin embargo, si un tetraedro tiene un vértice $v$ con un ángulo sólido mayor que $\pi$ sr, $M$ sigue correspondiendo a $v$ , pero $O$ se encuentra fuera del tetraedro.

Trigonometría y el espacio de todas las figuras

Artículo principal: Trigonometría de un tetraedro

Un corolario de la identidad del teorema del seno usual es que en un tetraedro con vértices $O$ , $A$ , $B$ , $C$ , entonces:

\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.

Se puede considerar que los dos lados de esta identidad corresponden a las orientaciones en sentido horario y antihorario de la superficie. Al asignar cualquiera de los cuatro vértices el origen de coordenadas $O$ (restando a las coordenadas de los cuatro vértices las coordenadas de uno de ellos), se obtienen cuatro identidades de este tipo, pero como máximo tres de ellas son independientes. Si se multiplican los lados en sentido horario de tres de ellas, se deduce que el producto es igual al producto de los lados en sentido antihorario de las mismas tres identidades. Por lo tanto, los factores comunes se cancelan en ambos lados, y el resultado es la cuarta identidad.

Tres ángulos son los ángulos de un triángulo si y solo si su suma es 180° (π radianes). ¿Qué condición sobre 12 ángulos es necesaria y suficiente para que sean los 12 ángulos de un tetraedro? La suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser 180°. Dado que existen cuatro triángulos de este tipo, existen cuatro restricciones de este tipo sobre las sumas de los ángulos, y el número de grados de libertad se reduce así de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por esta ley del seno reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 a 5, no a 4, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por lo tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es pentadimensional.^[32]

Sean $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ los puntos de un tetraedro. Sea $\Delta _{i}$ el área de la cara opuesta al vértice $P_{i}$ y $\theta _{ij}$ el ángulo diedro entre las dos caras del tetraedro adyacentes a la arista $P_{i}P_{j}$ . El teorema del coseno para un tetraedro, que relaciona las áreas de las caras del tetraedro con los ángulos diedros respecto a un vértice, viene dado por la siguiente relación:^[33]

\Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})

Punto interior

Sea $P$ cualquier punto interior de un tetraedro de volumen $V$ cuyos vértices son $A$ , $B$ , $C$ y $D$ , y cuyas áreas de las caras opuestas son $F_{a}$ , $F_{b}$ , $F_{c}$ y $F_{d}$ . Entonces, ^[34]

PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.

Para los vértices $A$ , $B$ , $C$ y $D$ , el punto interior $P$ y los pies $J$ , $K$ , $L$ y $M$ de las perpendiculares desde $P$ a las caras, y suponiendo que las caras tienen áreas iguales, entonces:^[35]

PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).

Inradio

Denotando el inradio de un tetraedro como $r$ y los inradios de sus caras triangulares como $r_{1}$ para $i=1,2,3,4$ , entonces: ^[36]

{\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},

con igualdad si y solo si el tetraedro es regular.

Si $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ y $A_{4}$ denotan el área de cada cara, el valor de $r$ viene dado por:

r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.

Esta fórmula se obtiene dividiendo el tetraedro en cuatro tetraedros cuyos vértices son los tres vértices de una de las caras originales y el incentro. Dado que los cuatro subtetraedros llenan el volumen, entonces:

V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.

Circunradio

Denótese como R el radio de la circunferencia circunscrita de un tetraedro. Sean a, b y c las longitudes de las tres aristas que convergen en un vértice, y A, B y C las longitudes de las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro. Entonces,^[37]^[38]

R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.

Circuncentro

El circuncentro de un tetraedro se puede hallar como la intersección de sus tres planos bisectores. Un plano bisector se define como el plano que pasa por el centro de una arista del tetraedro y es ortogonal a ella.

Con esta definición, el circuncentro $C$ de un tetraedro con vértices $x 0$ , $x 1$ , $x 2$ y $x 3$ se puede formular como el siguiente producto matricial de vectores:^[39]

{\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{donde}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{y}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}

A diferencia de un triángulo obtusángulo, el circuncentro no siempre se encuentra fuera de un tetraedro obtusángulo (es decir, cuando uno o más ángulos diedros son mayores que $\pi /2$ ), ni necesariamente dentro de un tetraedro agudo (es decir, cuando todos los ángulos diedros son menores que $\pi /2$ ).^[40]

Tetraedros con dimensiones enteras

Artículo principal: Tetraedro heroniano

Existen tetraedros con longitudes de arista, áreas de cara y volumen enteros, denominados tetraedros heronianos. Un ejemplo tiene una arista de 896, la opuesta de 990 y las otras cuatro de 1073; dos caras son triángulo isósceles con áreas de 436 800 y las otras dos son triángulos isósceles con áreas de 47 120, mientras que su volumen es 124 185 600.^[41]

Un tetraedro puede tener volumen entero y aristas con longitudes de arista enteras consecutivas; un ejemplo es el que tiene aristas 6, 7, 8, 9, 10 y 11 y volumen 48.^[42]

Tetraedros en la naturaleza y en la técnica

La forma tetraédrica aparece en la naturaleza en ciertas moléculas de enlace covalente. La más común de ellas es la molécula de metano (CH₄), en la que los cuatro átomos de hidrógeno se sitúan aproximadamente en los cuatro vértices de un tetraedro regular del que el átomo de carbono es el centro.

Existen también estructuras cristalinas naturales de forma tetraédrica.

A pesar de ser el tetraedro un poliedro de forma simple y totalmente regular no existen muchos objetos de uso común basados en su forma.

Como medio de almacenamiento es una forma desastrosa: no es posible rellenar el espacio con ella, que sería la forma de no desperdiciar volumen entre las piezas; tampoco resulta fácilmente apilable al no tener caras paralelas; y, además, es muy ineficaz: para contener un litro de producto son necesarios más de 7,2 dm² de «pared», mientras que utilizando un cubo con 6 dm² es suficiente. A pesar de todos estos inconvenientes, la empresa sueca Tetra Pak desarrolló un envase de cartón metalizado en forma tetraédrica en la década de 1950, únicamente porque su fabricación resultaba singularmente sencilla: bastaba con enrollar una hoja de papel formando un cilindro, para después aplastar sus dos extremos, pero en direcciones perpendiculares, logrando con ello un tetraedro.

En cualquier posición que sea apoyado un tetraedro, uno de sus vértices queda vertical hacia arriba. Por este motivo se basa en su forma la fabricación de ciertos modelos de elementos móviles de balizamiento de carreteras ya que, al ser indiferente la posición en la que se apoyen, su colocación es rápida y sencilla, y no pueden ser derribados por los vehículos.

Es una forma sencilla con gran facilidad para trabarse y engancharse, puesto que sus vértices son muy agudos y dirigidos en las cuatro direcciones. Por este motivo se busca su forma en elementos cuya principal función sea engancharse, como las anclas de barco (en esquema, un ancla está formada por las dos aristas opuestas de un tetraedro unidas por su perpendicular), o trabarse entre sí, como las escolleras de hormigón armado para defensa contra el oleaje. Existen al menos tres modelos de uso frecuente basados en la forma de un tetraedro regular:

Los tetrápodos, formados por cuatro troncos de cono colocados según las alturas de un tetraedro regular, entre sus vértices y su centro.

Los doloses (plural de dolos), diseñados por el ingeniero Eric M. Merrifield, formados por tres piezas rectas, dos materializando las aristas opuestas de un tetraedro regular y una tercera uniéndolas por su perpendicular.
Los akmon (yunque), desarrollados en el Laboratorio de Hidráulica de Delf (Países Bajos), de forma similar a los doloses, pero más robusta.

A principios del siglo XX Alexander Graham Bell, inventor del teléfono, experimentó intensamente con cometas, con el fin de desarrollar el vuelo tripulado con vehículos más pesados que el aire, y llegó tras una serie de experimentos a esta forma.

Las cometas tetraédricas están compuestas de múltiples celdas con forma de tetraedro, en el que se materializan únicamente dos de sus caras. Llegó a construir cometas enormes, formadas por un gran número de estas celdas.

En 1907 construyó una de 3393 celdas que arrastró con un barco de vapor, siendo capaz de elevarla 50 m con un tripulante a bordo. Intentó después otras construcciones aún más grandes, y equipadas con motor, pero no dieron el resultado deseado. A los motores les faltaba potencia y las construcciones resultaban frágiles en exceso, por lo que abandonó el proyecto, dedicándose a otras actividades.

La sonda espacial Mars Pathfinder de la NASA también tuvo forma de tetraedro, cuyas caras se abrieron como pétalos al amartizar, el 4 de julio de 1997, para permitir la salida del robot Sojourner que llevaba en su interior.

Otra aplicación práctica del tetraedro es la de dar forma al dado de cuatro caras, cuya notación escrita es «d4»^[43] y al que se utiliza sobre todo en numerosos juegos de rol. Al no mostrar este dado una cara hacia arriba, suele llevar marcado el valor de la tirada en los vértices o en la base.

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Véase también

Referencias

Bibliografía complementaria

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Claudi Alsina: Las mil caras del poliedro 2014

Tetraedro regular

Tetraedros irregulares

Disfenoides

Ortoesquemas

Tetraedros que llenan el espacio

Dominios fundamentales

Subdivisión y clases de similitud

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Propiedades métricas

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