Anneau euclidien non commutatif

Un anneau sans diviseur de zéro ${\displaystyle R}$ est appelé un anneau euclidien à gauche s'il existe une fonction ${\displaystyle \theta :R\rightarrow \mathbb {N} \cup \left\{-\infty \right\}}$, appelée fonction euclidienne à gauche^[1] ou stathme euclidien à gauche^[2] et vérifiant les conditions suivantes :

(E1) ${\displaystyle \theta \left(0\right)=-\infty }$.

(E2) Pour tous ${\displaystyle a,b\in R^{\times },\theta \left(ab\right)\geq \theta \left(a\right)>-\infty }$^[3].

(E3) Pour tout ${\displaystyle a\in R}$ et pour tout ${\displaystyle b\in R^{\times }}$, il existe ${\displaystyle q,r\in R}$ tels que

${\displaystyle a=qb+r}$, ${\displaystyle \theta \left(r\right)<\theta \left(b\right)}$,

ce qu'on appelle algorithme de la division à gauche.

Ce qui précède est encore valide si l'on change partout gauche par droite, en inter-changeant ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ dans (E2), et en remplaçant l'algorithme de la division à gauche par l'algorithme de la division à droite:

${\displaystyle a=bq+r}$, ${\displaystyle \theta \left(r\right)<\theta \left(b\right)}$.

Les éléments ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle r}$ de l'algorithme de la division à gauche (resp. à droite) sont appelés un quotient et un reste de la division à droite (resp. à gauche) de ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$.

Un anneau euclidien est un anneau euclidien à gauche qui est un anneau euclidien à droite.

Si l'on remplace (E2) par la condition plus forte

(E2') Pour tous ${\displaystyle a,b\in R^{\times },\theta \left(a-b\right)\leq \max \left\{\theta \left(a\right),\theta \left(b\right)\right\}}$ et ${\displaystyle \theta \left(ab\right)=\theta \left(a\right)\theta \left(b\right)}$,

on montre que le reste ${\displaystyle r}$ est unique (de même que le quotient ${\displaystyle q}$) et l'anneau euclidien à gauche ${\displaystyle R}$ est donc dit avec reste unique^[1].

La propriété suivante est fondamentale: un anneau euclidien à gauche est principal à gauche (la démonstration étant identique à celle faite dans le cas commutatif: voir l'article anneau euclidien).

L'anneau des entiers relatifs ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est un anneau euclidien commutatif avec pour stathme euclidien la fonction ${\displaystyle \theta }$ définie par ${\displaystyle \theta \left(n\right)=\left\vert n\right\vert }$ si ${\displaystyle n\neq 0}$ et ${\displaystyle \theta \left(0\right)=-\infty }$. Cet anneau euclidien n'est pas avec reste unique.

Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle a_{0}\left(t\right){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+...+a_{n}\left(t\right)}$.

où les ${\displaystyle a_{i}\left(t\right)}$ sont des fractions rationnelles en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Cet anneau ${\displaystyle B_{1}\left(k\right)}$ est un anneau euclidien.

Plus généralement, soit ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ une ${\displaystyle \alpha }$-dérivation, et considérons l'anneau ${\displaystyle R=K[X;\alpha ,\delta ]}$ des polynômes tordus d'indéterminée ${\displaystyle X}$ à coefficients dans ${\displaystyle K}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle R}$ est euclidien avec reste unique, avec le degré pour stathme euclidien à gauche et à droite^[1].

• N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer, 2006, 432 p. (ISBN 978-3-540-34398-1)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Londres, Academic Press Press, 1985, 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0, BNF 37359190)

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein Anneau caténaire
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down

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