Anneau principal non commutatif

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Un anneau sans diviseur de zéro ${\displaystyle R}$ est appelé un anneau principal à gauche si tout idéal à gauche de ${\displaystyle R}$ est principal, i.e. de la forme ${\displaystyle Ra}$ où ${\displaystyle a\in R}$. On définit de même un anneau principal à droite, et un anneau principal est un anneau principal à gauche qui est un anneau principal à droite.

Il est clair qu'un anneau principal à gauche ${\displaystyle R}$ est noethérien à gauche, donc est un anneau d'Ore à gauche. Il admet donc un corps de fractions à gauche.

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau sans diviseur de zéro. Un élément ${\displaystyle c\neq 0}$ de ${\displaystyle R}$ est dit invariant si ${\displaystyle Rc=cR}$. On alors ${\displaystyle Rc=cRc}$. L'idéal ${\displaystyle Rc}$ des multiples à gauche de ${\displaystyle c}$ coïncide donc avec l'idéal ${\displaystyle cR}$ de ses multiples à droite, et on montre aisément que, de même, l'ensemble des diviseurs à gauche de ${\displaystyle c}$ coïncide avec l'ensemble de ses diviseurs à droite. Soit ${\displaystyle a,b\in R\backslash \left\{0\right\}}$. On dit que ${\displaystyle a}$ est un diviseur total de ${\displaystyle b}$, et on écrit ${\displaystyle a\parallel b}$, s'il existe un élément invariant ${\displaystyle c}$ tel que ${\displaystyle a|c|b}$^[2]. Si l'anneau ${\displaystyle R}$ est simple, ses seuls éléments invariants sont les unités (i.e. les éléments inversibles) dont les seuls diviseurs sont de nouveau les unités.

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau sans diviseur de zéro. Un élément ${\displaystyle q}$ de ${\displaystyle R}$ est dit borné à gauche si le ${\displaystyle R}$-module à gauche ${\displaystyle R/Rq}$ n'est pas fidèle^[3]. On définit de même un élément borné à droite, et un élément borné est un élément qui est borné à gauche et à droite. Un élément ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle R}$ est dit totalement non borné s'il n'a pas d'autres diviseurs bornés que les unités (i.e. les éléments inversibles) de ${\displaystyle R}$^[4]. Si l'anneau ${\displaystyle R}$ est simple, tout élément de ${\displaystyle R}$ qui n'est pas une unité est totalement non borné^[5].

Dans un anneau ${\displaystyle R}$ sans diviseur de zéro, un atome est un élément qui ne peut pas s'écrire sous forme de produit de deux éléments qui ne seraient pas des unités. Un élément de ${\displaystyle R}$ est dit atomique s'il est un produit fini d'atomes. L'anneau ${\displaystyle R}$ est atomique si tout élément de ${\displaystyle R}$ qui n'est pas une unité est atomique.

Un anneau (éventuellement non commutatif) est principal si, et seulement s'il est bézoutien et atomique^[6].

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau sans diviseur de zéro et ${\displaystyle a,b}$ deux éléments non nuls de ${\displaystyle R}$. Alors il existe un isomorphisme ${\displaystyle R/Ra\cong R/Rb}$ si, et seulement s'il existe un isomorphisme ${\displaystyle R/aR\cong R/bR}$. Dans ce cas, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont dits semblables^[7].

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Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle a_{0}\left(t\right){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+...+a_{n}\left(t\right)}$.

où les ${\displaystyle a_{i}\left(t\right)}$ sont des fractions rationnelles en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Cet anneau ${\displaystyle B_{1}\left(k\right)}$ est un anneau principal simple.

Plus généralement, soit ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ une ${\displaystyle \alpha }$-dérivation, et considérons l'anneau ${\displaystyle R=K[X;\alpha ,\delta ]}$ des polynômes tordus d'indéterminée ${\displaystyle X}$ à coefficients dans ${\displaystyle K}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle R}$ est principal (il est même euclidien). De plus, en supposant ${\displaystyle K}$ commutatif, il est simple si ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ est une dérivation extérieure, la réciproque étant exacte si ${\displaystyle K}$ est de caractéristique 0^[8].

Soit de nouveau ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et considérons l'anneau des polynômes de Laurent tordus ${\displaystyle L=K\left[Y,Y^{-1};\alpha \right]}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle L}$ est principal (car obtenu par localisation d'un anneau principal) et, en supposant ${\displaystyle K}$ commutatif, ${\displaystyle L}$ est simple si, et seulement si aucune puissance de ${\displaystyle \alpha }$ n'est un automorphisme intérieur de ${\displaystyle K}$^[9].

Rappelons (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif) que, ci-dessus, la loi de commutation s'écrit ${\displaystyle Xa=a^{\alpha }X+a^{\delta }}$ pour tout ${\displaystyle a\in K}$. En posant ${\displaystyle Z=X^{-1}}$ on obtient pour loi de commutation ${\displaystyle aZ=Za^{\alpha }+Za^{\delta }Z}$. On peut alors former l'anneau des séries formelles tordues, noté ${\displaystyle S=K[[Z;\alpha ,\delta ]]}$. Cet anneau est principal et local (avec pour unique idéal maximal ${\displaystyle SZS}$). Notons que tous les idéaux de ${\displaystyle S}$ sont bilatères, de la forme ${\displaystyle SZ^{n}S}$^[10].

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Par une démonstration semblable à celle du théorème des facteurs invariants (mais en prenant en compte la non commutativité éventuelle de l'anneau principal ${\displaystyle R}$), on montre ce qui suit^[2]:

Soit ${\displaystyle A}$ une matrice à éléments dans ${\displaystyle R}$. Il existe des matrices inversibles ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ telles que

${\displaystyle P^{-1}AQ=diag\left(e_{1},...,e_{r},0,...,0\right)}$, ${\displaystyle e_{i}\parallel e_{i+1}}$, ${\displaystyle e_{r}\neq 0}$

où ${\displaystyle r}$ est le rang de ${\displaystyle A}$ et où chaque ${\displaystyle e_{i}}$ est déterminé de manière unique à une similitude près. Notons que la matrice ci-dessus n'est pas nécessairement carrée.

L'existence de cette forme a été démontrée par Jacobson dans le cas où ${\displaystyle R}$ est un anneau euclidien non commutatif^[11], résultat qui a été généralisé par Teichmüller au cas où ${\displaystyle R}$ est un anneau principal non commutatif^[12]. L'unicité des ${\displaystyle e_{i}}$ à une similitude près a été démontrée par Nakayama^[13].