Courbe convexe

Toute courbe convexe bornée est rectifiable, c'est-à-dire qu'elle possède une longueur d'arc finie et bien définie, et peut être approchée en longueur par une suite de lignes polygonales inscrites. Pour les courbes convexes fermées, la longueur peut être donnée par une forme de la formule de Crofton, égale à π fois la longueur moyenne de ses projections sur des droites^[8]. Il est également possible d'approcher l'aire de l'enveloppe convexe d'une courbe convexe par une suite de polygones convexes inscrits. Pour tout entier ${\displaystyle n}$, le polygone à ${\displaystyle n}$ dimensions qui l'approxime le plus précisément possède la propriété que chaque sommet est supporté par une droite parallèle à la droite passant par ses deux sommets voisins^[29]. Comme Archimède le savait déjà, si deux courbes convexes ont la même extrémité, et que l'une des deux courbes se situe entre l'autre et la droite passant par leurs extrémités, alors la courbe intérieure est plus courte que la courbe extérieure^[2].

D'après le théorème de Newton sur les ovales (en), l'aire délimitée par une droite dans une courbe convexe infiniment différentiable ne peut être une fonction algébrique des coefficients de cette droite^[30].

Une courbe strictement convexe ne peut pas passer par un grand nombre de points du réseau entier. Si la courbe a pour longueur ${\displaystyle L}$, alors, d'après un théorème de Vojtěch Jarník, le nombre de points du réseau qu'elle peut traverser est au plus égal à $${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3}).}$$ Cette estimation, utilisant la notation grand O, n'est précise que dans le cas limite des grandes longueurs. Ni la constante principale ni l'exposant du terme d'erreur ne peuvent être améliorés^[31].

Une courbe convexe possède au plus un ensemble dénombrable de points singuliers, c'est-à-dire des points auxquels elle est associée par plusieurs droites d'appui. Tous les autres points sont nécessairement non singuliers, et la droite d'appui unique en ces points est nécessairement une tangente. Ceci implique que les points non singuliers forment un ensemble dense dans la courbe^[10],[32]. Il est également possible de construire des courbes convexes dont les points singuliers sont denses.[19]

Une courbe fermée strictement convexe possède une fonction d'appui continue, qui associe à chaque direction des droites d'appui sa distance signée à l'origine. C'est un exemple de courbe en forme de hérisson (en), un type de courbe défini comme l'enveloppe d'un système de droites à fonction d'appui continue. Les courbes en forme de hérisson incluent également des courbes non convexes, telles que l'astroïde, et même des courbes qui s'auto-croisent, mais seules les courbes strictement convexes lisses ne possèdent aucun point singulier^[33].

Une courbe convexe ne peut avoir trois tangentes parallèles. Plus précisément, une courbe fermée lisse est convexe si et seulement si elle ne possède pas trois tangentes parallèles. Dans un sens, le milieu de trois tangentes parallèles quelconques séparerait les points de tangence des deux autres droites ; il ne pourrait donc pas être une droite d'appui. Aucune autre droite d'appui ne pourrait passer par son point de tangence, de sorte qu'une courbe tangente à ces trois droites ne pourrait pas être convexe. Dans l'autre sens, une courbe fermée lisse non convexe possède au moins un point sans droite d'appui. La tangente passant par ce point, et les deux tangentes d'appui parallèles à celui-ci, forment un ensemble de trois tangentes parallèles^{[13],[note 4]}.

D'après le théorème des quatre sommets, toute courbe fermée lisse possède au moins quatre sommets, points qui sont des minima ou des maxima locaux de courbure^[36]. La démonstration originale de ce théorème, par Syamadas Mukhopadhyaya (en) en 1909, ne considérait que les courbes convexes^[37] ; elle a ensuite été étendue à toutes les courbes fermées lisses^[36].

La courbure permet de caractériser les courbes fermées lisses convexes^[13]. La courbure dépend trivialement de la paramétrisation de la courbe : si l'on inverse une paramétrisation régulière d'une courbe, on obtient le même ensemble de points, mais sa courbure est inversée^[5]. Une courbe fermée simple et lisse, à paramétrisation régulière, est convexe si et seulement si sa courbure a un signe constant : toujours non négatif ou toujours non positif^{[13],[note 5]}. Toute courbe fermée simple et lisse à courbure strictement positive (ou strictement négative) est strictement convexe, mais certaines courbes strictement convexes peuvent présenter des points de courbure nulle^[39].

La courbure absolue totale (en) d'une courbe convexe lisse, $${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$$, est au plus égale à ${\displaystyle 2\pi }$. Elle vaut exactement ${\displaystyle 2\pi }$ pour les courbes convexes fermées, ce qui correspond à la courbure totale de ces courbes et de toute courbe fermée simple. Pour les courbes convexes, l'égalité entre la courbure absolue totale et la courbure totale découle du fait que la courbure a un signe constant. Pour les courbes fermées non convexes, la courbure absolue totale est toujours supérieure à ${\displaystyle 2\pi }$, et son excédent peut servir à quantifier l'écart à la convexité. Plus généralement, d'après le théorème de Fenchel, la courbure absolue totale d'une courbe lisse fermée dans un espace est au moins égale à ${\displaystyle 2\pi }$, cette égalité n'étant atteinte que pour les courbes planes convexes^[40],[41].

D'après le théorème d'Alexandrov, une courbe convexe non lisse possède une dérivée seconde, et donc une courbure bien définie, presque partout. Cela signifie que l'ensemble des points sans dérivée seconde est de mesure nulle sur la courbe. Cependant, l'ensemble des points possédant une dérivée seconde peut être restreint. En particulier, pour les graphes de fonctions convexes non lisses génériques, il s'agit d'un ensemble maigre, c'est-à-dire une union dénombrable d'ensembles nulle part denses^[42].

Le contour de tout polygone convexe forme une courbe convexe (une courbe linéaire par morceaux, et non strictement convexe). Un polygone inscrit dans une courbe strictement convexe, ses sommets étant alignés le long de la courbe, est nécessairement un polygone convexe^[43].

Le problème du carré inscrit consiste à démontrer que toute courbe simple fermée du plan contient les quatre sommets d'un carré. Bien que non résolu de manière générale, ce problème a trouvé des solutions pour les courbes convexes^[44]. Dans le cadre de ce problème, des études connexes sur la recherche de quadrilatères inscrits ont été menées pour les courbes convexes. Une copie à l'échelle et pivotée d'un rectangle ou d'un trapèze peut être inscrite dans toute courbe convexe fermée donnée. Lorsque la courbe est lisse, une copie à l'échelle et pivotée de tout quadrilatère cyclique peut y être inscrite. Cependant, l'hypothèse de régularité est nécessaire pour ce résultat, car certains cerf-volant droit ne peuvent être inscrits dans certains triangles obtus isocèles ^[45],[46]. Les polygones réguliers à plus de quatre côtés ne peuvent pas être inscrits dans toutes les courbes convexes fermées, car la courbe formée par un demi-cercle et son diamètre ne contient aucun de ces polygones^[47].

• Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe
• Fonction convexe : généralisation en dimension supérieure des courbes convexes

• Définition sur le site du CNRTL (Centre national de ressources textuelles et lexicales)

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