Courbe convexe

Concepts de base

Une courbe plane est l'image de toute fonction continue définie sur un intervalle par le plan euclidien. Intuitivement, il s'agit d'un ensemble de points que l'on peut parcourir en se déplaçant. Plus précisément, les courbes lisses requièrent généralement que la fonction définie sur l'intervalle par le plan soit continûment différentiable, et dans certains contextes, on exige l'existence de dérivées d'ordre supérieur. La fonction paramétrant une courbe lisse est souvent supposée régulière, c'est-à-dire que sa dérivée est non nulle ; intuitivement, le point en mouvement ne s'arrête jamais et ne change jamais de direction. Chaque point intérieur d'une courbe lisse possède une tangente. Si, de plus, la dérivée seconde existe partout, alors chacun de ces points possède une courbure bien définie^[5].

Une courbe plane est fermée si les deux extrémités de l'intervalle sont envoyées au même point du plan, et elle est simple si aucun autre point n'est confondu^[5]. Plus rarement, une courbe plane simple peut être dite ouverte si elle est topologiquement équivalente à une ligne, n'ayant ni extrémité ni point limite qui ne lui appartienne pas, et divisant le plan en deux régions non bornées^[6]. Cependant, cette terminologie est ambiguë car d'autres sources désignent une courbe avec deux extrémités distinctes comme une courbe ouverte^[7]. Ici, nous utilisons le sens topologique de la ligne d'une courbe ouverte.

Droites d'appui

Une droite d'appui (en) est une droite contenant au moins un point de la courbe, pour lequel la courbe est incluse dans l'un des deux demi-plans délimités par cette droite. Une courbe plane est dite convexe si elle admet une droite d'appui passant par chacun de ses points^[8],[9]. Par exemple, le graphe d'une fonction convexe admet une droite d'appui située en dessous et passant par chacun de ses points. Plus précisément, aux points où la fonction admet une dérivée, il existe une unique droite d'appui, la tangente^[10].

Les droites d'appui et les tangentes ne sont pas synonymes^[11]. mais pour les courbes convexes, toute tangente est une droite d'appui^[8]. En un point d'une courbe où existe une tangente, il ne peut y avoir qu'une seule droite d'appui, la tangente^[12]. Par conséquent, une courbe lisse est convexe si elle se situe d'un côté ou de l'autre de chacune de ses tangentes. Ceci peut être utilisé comme définition équivalente de la convexité pour les courbes lisses, ou plus généralement pour les courbes lisses par morceaux (en)^{[13][note 1]}.

Frontières d'ensembles convexes

Une courbe convexe peut également être définie comme un sous-ensemble connexe de la frontière d'un ensemble convexe du plan euclidien^[8],[9]. Tout ensemble convexe n'a pas une frontière connexe^{[note 2]}, mais lorsqu'elle en a une, la frontière entière est un exemple de courbe convexe. Lorsqu'un ensemble convexe borné du plan n'est pas un segment de droite, sa frontière forme une courbe convexe simple fermée^[16]. D'après le théorème de Jordan, une courbe simple fermée divise le plan en régions intérieure et extérieure, et une autre définition équivalente d'une courbe convexe fermée est qu'il s'agit d'une courbe simple fermée dont l'union avec son intérieur est un ensemble convexe^[9],[17]. Les graphes des fonctions convexes sont des exemples de courbes convexes ouvertes et non bornées. Là encore, ce sont des frontières d'ensembles convexes, les épigraphes de ces mêmes fonctions^[18].

Cette définition est équivalente à la définition des courbes convexes à partir des droites d'appui. Toute courbe convexe, définie comme une courbe dont chaque point est traversé par une droite de support, est un sous-ensemble de la frontière de son enveloppe convexe. Tout sous-ensemble connexe de la frontière d'un ensemble convexe possède une droite de support passant par chacun de ses points^[8],[9],[19]

Intersection avec des droites

Pour une courbe convexe, toute droite du plan l'intersecte de quatre manières : son intersection peut être l'ensemble vide, un point unique, une paire de points ou un intervalle. Lorsqu'une courbe fermée est intersectée en un point unique ou un intervalle, la droite est une droite d'appui. On peut utiliser cette définition comme une autre définition des courbes convexes : ce sont les courbes de Jordan (courbes simples connexes) pour lesquelles toute intersection avec une droite est de l'un de ces quatre types. Cette définition permet de généraliser les courbes convexes du plan euclidien à certains autres espaces vectoriels, comme le plan projectif réel. Dans ces espaces, comme dans le plan euclidien, toute courbe n'ayant que ces intersections restreintes avec des droites possède une droite d'appui pour chaque point^[20].

Convexité stricte

Les courbes strictement convexes admettent plusieurs définitions équivalentes. Ce sont les courbes convexes ne contenant aucun segment de droite^[21]. Ce sont les courbes dont l'intersection avec une droite se compose d'au plus deux points^[20]. Ce sont les courbes pouvant être formées comme sous-ensemble connexe de la frontière d'un ensemble strictement convexe^[22]. Un ensemble est strictement convexe si chaque point de sa frontière est un extremum de l'ensemble, c'est-à-dire l'unique maximisateur d'une fonction linéaire^[23]. En tant que frontières d'ensembles strictement convexes, ce sont les courbes situées en position convexe (en), ce qui signifie qu'aucun de leurs points ne peut être une combinaison convexe d'un autre sous-ensemble de ses points^[24].

Les courbes strictement convexes fermées peuvent être définies comme les courbes fermées simples localement équivalentes (après une transformation de coordonnées appropriée) aux graphes de fonctions strictement convexes. Cela signifie qu'à chaque point de la courbe, il existe un voisinage de points et un système de coordonnées cartésiennes dans ce voisinage tel que, dans ce voisinage, la courbe coïncide avec le graphe d'une fonction strictement convexe^{[25],[note 3]}.

Symétrie

Les courbes convexes fermées et lisses possédant un axe de symétrie, telles qu'une ellipse ou un œuf de Moss (en), sont parfois appelées ovales^[28]. Cependant, ce terme est également employé pour désigner les ensembles pour lesquels chaque point possède une unique droite disjointe du reste de l'ensemble, notamment dans le contexte des ovales en géométrie projective finie. En géométrie euclidienne, il s'agit des courbes fermées strictement convexes et lisses, sans aucune condition de symétrie^[20]

Longueur et aire

Toute courbe convexe bornée est rectifiable, c'est-à-dire qu'elle possède une longueur d'arc finie et bien définie, et peut être approchée en longueur par une suite de lignes polygonales inscrites. Pour les courbes convexes fermées, la longueur peut être donnée par une forme de la formule de Crofton, égale à π fois la longueur moyenne de ses projections sur des droites^[8]. Il est également possible d'approcher l'aire de l'enveloppe convexe d'une courbe convexe par une suite de polygones convexes inscrits. Pour tout entier ${\displaystyle n}$, le polygone à ${\displaystyle n}$ dimensions qui l'approxime le plus précisément possède la propriété que chaque sommet est supporté par une droite parallèle à la droite passant par ses deux sommets voisins^[29]. Comme Archimède le savait déjà, si deux courbes convexes ont la même extrémité, et que l'une des deux courbes se situe entre l'autre et la droite passant par leurs extrémités, alors la courbe intérieure est plus courte que la courbe extérieure^[2].

D'après le théorème de Newton sur les ovales (en), l'aire délimitée par une droite dans une courbe convexe infiniment différentiable ne peut être une fonction algébrique des coefficients de cette droite^[30].

Une courbe strictement convexe ne peut pas passer par un grand nombre de points du réseau entier. Si la courbe a pour longueur ${\displaystyle L}$, alors, d'après un théorème de Vojtěch Jarník, le nombre de points du réseau qu'elle peut traverser est au plus égal à $${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3}).}$$ Cette estimation, utilisant la notation grand O, n'est précise que dans le cas limite des grandes longueurs. Ni la constante principale ni l'exposant du terme d'erreur ne peuvent être améliorés^[31].

Droites d'appui et fonction d'appui

Une courbe convexe possède au plus un ensemble dénombrable de points singuliers, c'est-à-dire des points auxquels elle est associée par plusieurs droites d'appui. Tous les autres points sont nécessairement non singuliers, et la droite d'appui unique en ces points est nécessairement une tangente. Ceci implique que les points non singuliers forment un ensemble dense dans la courbe^[10],[32]. Il est également possible de construire des courbes convexes dont les points singuliers sont denses.[19]

Une courbe fermée strictement convexe possède une fonction d'appui continue, qui associe à chaque direction des droites d'appui sa distance signée à l'origine. C'est un exemple de courbe en forme de hérisson (en), un type de courbe défini comme l'enveloppe d'un système de droites à fonction d'appui continue. Les courbes en forme de hérisson incluent également des courbes non convexes, telles que l'astroïde, et même des courbes qui s'auto-croisent, mais seules les courbes strictement convexes lisses ne possèdent aucun point singulier^[33].

Une courbe convexe ne peut avoir trois tangentes parallèles. Plus précisément, une courbe fermée lisse est convexe si et seulement si elle ne possède pas trois tangentes parallèles. Dans un sens, le milieu de trois tangentes parallèles quelconques séparerait les points de tangence des deux autres droites ; il ne pourrait donc pas être une droite d'appui. Aucune autre droite d'appui ne pourrait passer par son point de tangence, de sorte qu'une courbe tangente à ces trois droites ne pourrait pas être convexe. Dans l'autre sens, une courbe fermée lisse non convexe possède au moins un point sans droite d'appui. La tangente passant par ce point, et les deux tangentes d'appui parallèles à celui-ci, forment un ensemble de trois tangentes parallèles^{[13],[note 4]}.

Courbure

D'après le théorème des quatre sommets, toute courbe fermée lisse possède au moins quatre sommets, points qui sont des minima ou des maxima locaux de courbure^[36]. La démonstration originale de ce théorème, par Syamadas Mukhopadhyaya (en) en 1909, ne considérait que les courbes convexes^[37] ; elle a ensuite été étendue à toutes les courbes fermées lisses^[36].

La courbure permet de caractériser les courbes fermées lisses convexes^[13]. La courbure dépend trivialement de la paramétrisation de la courbe : si l'on inverse une paramétrisation régulière d'une courbe, on obtient le même ensemble de points, mais sa courbure est inversée^[5]. Une courbe fermée simple et lisse, à paramétrisation régulière, est convexe si et seulement si sa courbure a un signe constant : toujours non négatif ou toujours non positif^{[13],[note 5]}. Toute courbe fermée simple et lisse à courbure strictement positive (ou strictement négative) est strictement convexe, mais certaines courbes strictement convexes peuvent présenter des points de courbure nulle^[39].

La courbure absolue totale (en) d'une courbe convexe lisse, $${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$$, est au plus égale à ${\displaystyle 2\pi }$. Elle vaut exactement ${\displaystyle 2\pi }$ pour les courbes convexes fermées, ce qui correspond à la courbure totale de ces courbes et de toute courbe fermée simple. Pour les courbes convexes, l'égalité entre la courbure absolue totale et la courbure totale découle du fait que la courbure a un signe constant. Pour les courbes fermées non convexes, la courbure absolue totale est toujours supérieure à ${\displaystyle 2\pi }$, et son excédent peut servir à quantifier l'écart à la convexité. Plus généralement, d'après le théorème de Fenchel, la courbure absolue totale d'une courbe lisse fermée dans un espace est au moins égale à ${\displaystyle 2\pi }$, cette égalité n'étant atteinte que pour les courbes planes convexes^[40],[41].

D'après le théorème d'Alexandrov, une courbe convexe non lisse possède une dérivée seconde, et donc une courbure bien définie, presque partout. Cela signifie que l'ensemble des points sans dérivée seconde est de mesure nulle sur la courbe. Cependant, l'ensemble des points possédant une dérivée seconde peut être restreint. En particulier, pour les graphes de fonctions convexes non lisses génériques, il s'agit d'un ensemble maigre, c'est-à-dire une union dénombrable d'ensembles nulle part denses^[42].

Polygones inscrits

Le contour de tout polygone convexe forme une courbe convexe (une courbe linéaire par morceaux, et non strictement convexe). Un polygone inscrit dans une courbe strictement convexe, ses sommets étant alignés le long de la courbe, est nécessairement un polygone convexe^[43].

Le problème du carré inscrit consiste à démontrer que toute courbe simple fermée du plan contient les quatre sommets d'un carré. Bien que non résolu de manière générale, ce problème a trouvé des solutions pour les courbes convexes^[44]. Dans le cadre de ce problème, des études connexes sur la recherche de quadrilatères inscrits ont été menées pour les courbes convexes. Une copie à l'échelle et pivotée d'un rectangle ou d'un trapèze peut être inscrite dans toute courbe convexe fermée donnée. Lorsque la courbe est lisse, une copie à l'échelle et pivotée de tout quadrilatère cyclique peut y être inscrite. Cependant, l'hypothèse de régularité est nécessaire pour ce résultat, car certains cerf-volant droit ne peuvent être inscrits dans certains triangles obtus isocèles ^[45],[46]. Les polygones réguliers à plus de quatre côtés ne peuvent pas être inscrits dans toutes les courbes convexes fermées, car la courbe formée par un demi-cercle et son diamètre ne contient aucun de ces polygones^[47].

Articles connexes

• Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe
• Fonction convexe : généralisation en dimension supérieure des courbes convexes

Pages externes

• Définition sur le site du CNRTL (Centre national de ressources textuelles et lexicales)