Ennéacontagone

Un ennéacontagone régulier est un ennéacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {90/k} pour k impair de 7 à 43 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {90}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéacontagone régulier ».

Les douze ennéacontagones réguliers.

Représentation
Symbole de Schläfli	{90}	{90/7}	{90/11}	{90/13}	{90/17}	{90/19}
Angle interne	176°	152°	136°	128°	112°	104°
Représentation
Symbole de Schläfli	{90/23}	{90/29}	{90/31}	{90/37}	{90/41}	{90/43}
Angle interne	88°	64°	56°	32°	16°	8°

Chacun des 90 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{90}}=4^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {15\,840^{\circ }}{90}}=176^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=90\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {90}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}}$.

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