Octacontagone

Un octacontagone régulier est un octacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a seize : quinze étoilés (notés {80/k} pour k impair de 3 à 39 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {80}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octacontagone régulier ».

Les seize octacontagones réguliers

Représentation	{80}	{80/3}	{80/7}	{80/9}	{80/11}	{80/13}	{80/17}	{80/19}
Angle interne	175,5°	166,5°	148,5°	139,5°	130,5°	121,5°	103,5°	94,5°
Représentation	{80/21}	{80/23}	{80/27}	{80/29}	{80/31}	{80/33}	{80/37}	{80/39}
Angle interne	85,5°	76,5°	58,5°	49,5°	40,5°	31,5°	13,5°	4,5°

Chacun des 80 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{80}}=4{,}5^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {14\,040^{\circ }}{80}}=175{,}5^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=80\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=20\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}}$.

L'octacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du tétracontagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 80 est le produit de 16 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

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