Distribution q-Weibull

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La densité de probabilité d'une variable aléatoire de type q-Weibull est^[1] :

${\displaystyle f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

où ${\displaystyle q<2}$ et ${\displaystyle \kappa <0}$ sont les paramètres de forme et ${\displaystyle \lambda >0}$ est le paramètre d'échelle de la distribution. ${\displaystyle e_{q}}$ est la q-exponentielle^[1],[2],[3] :

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{si }}q=1\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{si }}q\neq 1{\text{ et }}1+(1-q)x>0\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{si }}q\neq 1{\text{ et }}1+(1-q)x\leq 0\\[6pt]\end{cases}}}$

La fonction de distribution d'une variable aléatoire de type q-Weibull est :

${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

où

${\displaystyle \lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}}$

${\displaystyle q'={1 \over (2-q)}}$

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La moyenne de la distribution q-Weibull est, en notant ${\displaystyle B(\cdot )}$ la fonction bêta et ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ la fonction gamma :

${\displaystyle \mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}}$

L'expression de la moyenne est une fonction continue de ${\displaystyle q}$.