Formule de Larmor

Deux méthodes principales permettent de retrouver cette formule : l'une consiste à moyenner temporellement la puissance échangée avec la force d'Abraham-Lorentz, et l'autre à recourir au théorème de Poynting.

Soit un corps chargé oscillant, de charge totale Q. La puissance échangée par ce système avec la force d'Abraham-Lorentz est donnée par :

$${\displaystyle P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$

avec :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {2}{3}}\,{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}}$$

La moyenne temporelle de P sur chaque période d'oscillation est donnée par :

$${\displaystyle \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \right)\,dt}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt}$$

Or, pour un mouvement périodique de période T, on a :

$${\displaystyle \int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt=-\int _{0}^{T}\left(a^{2}\right)dt}$$

On obtient donc finalement :

On a ici un signe (-) car il s'agit d'une puissance perdue par le système.

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• Théorème de Poynting

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