Schéma de Lax-Wendroff

Considérons l'équation d'advection en dimension 1 d'espace et temps :

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0\,}$

où x et t sont des variables indépendantes, et u(x, 0) est l'état initial connu.

Dans le cas linéaire, on a par définition f(u) = Au , avec A une constante^[1],

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\lambda }{2}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$

Avec ${\displaystyle \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}}}$, le facteur de discrétisation.

Ce schéma linéaire peut être étendu au cas général, non linéaire de multiples façons. L'une d'entre elles consiste à ré-écrire A(u) sous la forme

${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$

On obtient alors la formulation conservative du schéma de Lax-Wendroff dans le cas général non-linéaire :

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\lambda }{2}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$

où ${\displaystyle A_{i\pm 1/2}}$ désigne les matrices jacobiennes évaluées pour les états ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(U_{i}^{n}+U_{i\pm 1}^{n})}$.

Méthode de Richtmyer

Afin d'éviter le calcul de cette matrice jacobienne, on peut procéder en deux étapes. Dans ce qui suit, on présente la méthode dite de Richtmyer, constituée de deux étapes. Dans un premier temps, on calcule f(u(x, t)) pour un demi pas de temps, t_n + 1/2, et en prenant les points x_i + 1/2 situés aux interfaces entre deux cellules du maillage. Dans un deuxième temps, les valeurs au temps t_n + 1 sont calculées en utilisant celles aux temps t_n et t_n + 1/2.

Première étape (Lax) :

${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\lambda }{2}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$

${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\lambda }{2}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Deuxième étape :

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\lambda \left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$

Méthode de MacCormack

Une autre méthode voisine a été proposée par MacCormack, consistant à utiliser d'abord une différence finie décentrée amont, puis une autre décentrée aval :

• Première étape :

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-\lambda (f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).}$

• Deuxième étape :

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\lambda }{2}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$

Alternative

• Première étape :

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-\lambda (f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

• Deuxième étape :

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\lambda }{2}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$

• (en) P.D Lax et B. Wendroff, « Systems of conservation laws », Commun. Pure Appl Math., vol. 13, n^o 2,‎ 1960, p. 217–237 (DOI 10.1002/cpa.3160130205)
• Michael J. Thompson, An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics, Imperial College Press, London, 2006.
• (en) WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling et BP Flannery, Numerical Recipes : The Art of Scientific Computing, New York, Cambridge University Press, 2007, 3^e éd., 1235 p. (ISBN 978-0-521-88068-8, lire en ligne), « Section 20.1. Flux Conservative Initial Value Problems », p. 1040

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