Dodécaèdre adouci

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de

${\displaystyle (\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )\,}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}+\varphi \right),\pm \left(-\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right)\right)}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right),\pm \left(-\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta -{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right),\pm \left(\alpha -{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)}$ et

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi -\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right)\right)}$,

avec un nombre pair de signes plus, où

${\displaystyle \alpha =\xi -{\frac {1}{\xi }}}$

et

${\displaystyle \beta =\xi \varphi +\varphi ^{2}+{\frac {\varphi }{\xi }}}$,

où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or et ${\displaystyle \xi \,}$ est la solution réelle de ${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =\varphi \,}$, qui est le nombre

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}}$

ou approximativement 1,7155615.

On notera que, parmi les 6 permutations de 3 coordonnées, les permutations paires sont les 3 permutations circulaires.

Prendre les permutations impaires des coordonnées ci-dessus, ou^{[réf. nécessaire]} les mêmes permutations avec un nombre impair de signes plus, donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.

dont la seule référence était (en) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979 (ISBN 0-486-23729-X).

Polyèdre adouci

• Dodécaèdre adouci sur MathCurve.
• (en) Vincent Herr, « Modèle en fil de fer d'un dodécaèdre adouci irrégulier », 2004

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