Tétrahectogone

Un 400-gone régulier est un 400-gone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a 80 : 79 étoilés (notés {400/k} pour k impair de 3 à 199 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {400}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le 400-gone régulier ».

Chacun des 400 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{400}}=0{,}9^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {71\,640^{\circ }}{400}}=179{,}1^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=400\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=100\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{400}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{400}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{400}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{400}}\right)}}}$.

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