Test du multiplicateur de Lagrange

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Type

Test statistique

Inventeurs

Calyampudi Radhakrishna Rao, Samuel David Silvey (en)

Formule

-\left.{\frac {\partial \log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}'}}\right|_{{\vec {\theta }}_{0}}\left[\left.{\frac {\partial ^{2}\log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}\partial {\vec {\theta }}'}}\right|_{\vec {\theta _{0}}}\right]^{-1}\left.{\frac {\partial \log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}}}\right|_{{\vec {\theta }}_{0}}

Test du multiplicateur de Lagrange

Type	Test statistique
Inventeurs	Calyampudi Radhakrishna Rao, Samuel David Silvey (en)
Formule	$-\left.{\frac {\partial \log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}'}}\right\|_{{\vec {\theta }}_{0}}\left[\left.{\frac {\partial ^{2}\log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}\partial {\vec {\theta }}'}}\right\|_{\vec {\theta _{0}}}\right]^{-1}\left.{\frac {\partial \log {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {\theta }}}}\right\|_{{\vec {\theta }}_{0}}$

Le test du multiplicateur de Lagrange (LM) ou test de score ou test de Rao est un principe général pour tester des hypothèses sur les paramètres dans un cadre de vraisemblance. L'hypothèse sous le test est exprimée comme une ou plusieurs contraintes sur les valeurs des paramètres. La statistique du test LM ne nécessite une maximisation que dans cet espace contraint des paramètres (en particulier si l'hypothèse à tester est de la forme $\theta =\theta _{0}$ alors ${\hat {\theta }}=\theta _{0}$ ). Ceci contraste avec les tests de Wald, qui sont basés sur des maximisations dans l'espace non contraint, et les tests de rapport de vraisemblance qui nécessitent deux maximisations : une dans l'espace contraint et l'autre dans l'espace non contraint. Le nom du test est motivé par le fait qu'il peut être considéré comme tester si les multiplicateurs de Lagrange impliqués dans l'application des contraintes sont significativement différents de zéro. Le terme « multiplicateur de gamme » lui-même est un mot mathématique plus large inventé après le travail du dix-huitième siècle mathématicien Joseph-Louis Lagrange.

Le principe de test LM a trouvé une large applicabilité à de nombreux problèmes d'intérêt pour l'économétrie. De plus, l’idée de tester le coût de l’imposition des restrictions, bien qu’initialement formulées dans un cadre probabiliste, a été étendu à d'autres environnements d'estimation, y compris la méthode de moments et l'estimation robuste.

On reprend l'estimateur du maximum de vraisemblance ${\hat {\theta }}$ (dans l'espace contraint), défini comme la valeur à laquelle la vraisemblance de $\theta$ au vu des observations $(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})$ d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon la loi ${\mathcal {D}}_{\theta }$ est maximale.

{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n};\theta )=f(x_{1};\theta )\times f(x_{2};\theta )\times \ldots \times f(x_{n};\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )

Le score, défini comme le gradient de la log-vraisemblance par rapport aux paramètres :

s(\theta )\equiv {\frac {\partial \log {\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n};\theta )}{\partial \theta }}

est d'espérance nulle autour de ${\hat {\theta }}$ sous l'hypothèse nulle (sous certaines hypothèse de régularité).

Plus précisément, $s({\hat {\theta }})$ converge en loi vers une loi normale centrée, dont la variance est l'information de Fisher ${\mathcal {I}}({\hat {\theta }})$ .

La statistique utilisée est :

$S\equiv \!^{\operatorname {t} }s({\hat {\theta }}){\mathcal {I}}({\hat {\theta }})^{-1}s({\hat {\theta }})$

Sous l'hypothèse nulle, $S$ suit asymptotiquement une loi du χ² dont le nombre de degrés de libertés est le nombre de contraintes imposées par l'hypothèse nulle (en particulier, lorsqu'elle est de la forme $\theta =\theta _{0}$ ce nombre est la dimension de $\theta$ ).

Si $S$ prend des valeurs trop grandes, l'hypothèse nulle est rejetée.

v · m

Index du projet probabilités et statistiques

Théorie des probabilités

Bases théoriques

Principes généraux	Axiomes des probabilités Espace mesurable Probabilité Événement Tribu Indépendance Variable aléatoire Espérance Variables iid
Convergence de lois	Théorème central limite Loi des grands nombres Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique	Marche aléatoire Chaîne de Markov Processus stochastique Processus de Markov Martingale Mouvement brownien Équation différentielle stochastique

Lois de probabilité

Lois continues	Loi exponentielle Loi normale Loi uniforme Loi de Student Loi de Fisher Loi du χ²
Lois discrètes	Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Loi géométrique Loi hypergéométrique

Mélange entre statistiques et probabilités

Intervalle de confiance

Interprétations de la probabilité

Bayésianisme

Théorie des statistiques

Statistiques descriptives

Bases théoriques	Une statistique Caractère Échantillon Erreur type Intervalle de confiance Fonction de répartition empirique Théorème de Glivenko-Cantelli Inférence bayésienne Régression linéaire Méthode des moindres carrés Analyse des données Corrélation
Tableaux	Tableau de contingence Tableau disjonctif complet Table de Burt
Visualisation de données	Histogramme Diagramme à barres Graphique en aires Diagramme circulaire Treemap Boîte à moustaches Nuage de points Graphique à bulles Diagramme en cascade Graphique en entonnoir Diagramme de Kiviat Corrélogramme Graphique en forêt Diagramme branche-et-feuille Heat map Sparkline
Paramètres de position	Moyenne arithmétique Mode Médiane Quantile Quartile Décile Centile
Paramètres de dispersion	Étendue Écart moyen Variance Écart type Déviation absolue moyenne Écart interquartile Coefficient de variation
Paramètres de forme	Coefficient d'asymétrie Coefficient d'aplatissement

Statistiques inductives

Bases théoriques	Hypothèse nulle Estimateur Signification statistique Sensibilité et spécificité Courbe ROC Nombre de sujets nécessaires Valeur p Contraste (statistiques) Statistique de test Taille d'effet Puissance statistique
Tests paramétriques	Test d'hypothèse Test de Bartlett Test de normalité Test de Fisher d'égalité de deux variances Test d'Hausman Test d'Anderson-Darling Test de Banerji Test de Durbin-Watson Test de Goldfeld et Quandt Test de Jarque-Bera Test de Mood Test de Lilliefors Test de Wald Test T pour des échantillons indépendants Test T pour des échantillons appariés Test de corrélation de Pearson
Tests non-paramétriques	Test U de Mann-Whitney Test de Kruskal-Wallis Test exact de Fisher Test de Kolmogorov-Smirnov Test de Shapiro-Wilk Test de Chow Test de McNemar Test de Spearman Tau de Kendall Test Gamma Test des suites de Wald-Wolfowitz Test de la médiane Test des signes ANOVA de Friedman Concordance de Kendall Test Q de Cochran Test des rangs signés de Wilcoxon Test de Sargan

Application
Économétrie Mécanique statistique Jeu de hasard Biomathématique Biostatistique Mathématiques financières

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